人教版数学九年级全册知识点训练营——一元二次方程的几何问题

更新时间：2024-10-12 浏览次数：51 类型：复习试卷

一、静态几何问题

1. (2024九上·宝山月考) 如图，公园里有一段长20米的墙 $\text{[math]}$ ，工人师傅计划利用墙 $\text{[math]}$ 和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙 $\text{[math]}$ 的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（）

A . 由题意得 $\text{[math]}$ B . x的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 只有一种围法 D . 只有两种围法

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2. (2024九上·良庆月考) 如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的杭州金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整幅挂图的面积是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，设纸边的宽为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 应满足的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·从江月考) $\text{[math]}$ 增删算法统宗 $\text{[math]}$ 中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小 $\text{[math]}$ 尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长 $\text{[math]}$ 尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 尺，依题意可得方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024九上·深圳开学考) 如图，用长为 $\text{[math]}$ 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 $\text{[math]}$ ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 $\text{[math]}$ 上用其他材料做了宽为 $\text{[math]}$ 的两扇小门，若花圃的面积刚好为 $\text{[math]}$ ，则此时花圃 $\text{[math]}$ 段的长为（）m．

A . 4或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 10

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5. (2024九上·岳麓开学考) 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024八下·栾城期末) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为(　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. (2024八下·慈溪期中) 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的 $\text{[math]}$ ．设观花道的直角边（如图所示）为x ，则可列方程为（）

A . （10+x）（9+x）＝30 B . （10+x）（9+x）＝60 C . （10﹣x）（9﹣x）＝30 D . （10﹣x）（9﹣x）＝60

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8. (2024九上·信都月考) 如图所示，某农户用 $\text{[math]}$ 长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长 $\text{[math]}$ ），且面积为 $\text{[math]}$ 的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个 $\text{[math]}$ 宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为 $\text{[math]}$ ，若可列方程为 $\text{[math]}$ ，则★表示的代数式为．

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9. (2024九上·杭州月考) 如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边 $\text{[math]}$ 是围墙，且 $\text{[math]}$ 的长不能超过 $\text{[math]}$ ，其余三边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 长的铁质栅栏．有下列结论：
① $\text{[math]}$ 的长可以为 $\text{[math]}$ ；
②当农场 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ 时，满足条件的 $\text{[math]}$ 的长只有一个值；
③农场 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过 $\text{[math]}$ ．
其中，正确结论的是．(只需填序号)

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10. (2024九上·深圳月考) 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．

（1）饲养场另一边BC=____米（用含x的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．

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11. (2024八下·福山期末) 如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为 $\text{[math]}$ 米和 $\text{[math]}$ 米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场 $\text{[math]}$ ，用总长 $\text{[math]}$ 米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边上各留1米宽的门，设 $\text{[math]}$ 长x米．
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的长（用含x的代数式表示）．
2. （2）若饲养场 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 平方米，求x的值．
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12. (2024九上·云梦月考) 如图，有一个宽 $\text{[math]}$ ，长 $\text{[math]}$ 的长方形花园，其中有两横向道路、一纵向道路，横、纵道路的宽度比为 $\text{[math]}$ ．如果要使种花的所占面积是整个长方形花园的 $\text{[math]}$ ，求横向道路的宽度．

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13. (2024九上·深圳开学考) 如何利用闲置纸板箱制作储物盒

如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材 $\text{[math]}$	如图 $\text{[math]}$ ，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图 $\text{[math]}$ 所示．
素材 $\text{[math]}$	如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为 $\text{[math]}$ 长方形纸板．
	长方形纸板①	长方形纸板②

	小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
	长方形纸板①的制作方式	长方形纸板②制作方式
	裁去角上 $\text{[math]}$ 个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．	将纸片四个角裁去 $\text{[math]}$ 个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标 $\text{[math]}$	熟悉材料	按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽 $\text{[math]}$ 为______．
目标 $\text{[math]}$	利用目标 $\text{[math]}$ 计算所得的数据 $\text{[math]}$ ，进行进一步探究．
	初步应用	（1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是 $\text{[math]}$ ，求储物盒的容积．
	储物收纳	（2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为 $\text{[math]}$ ．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．

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14. (2021九上·孝义期中) 阅读下列材料，并完成相应学习任务：
一元二次方程在几何作图中的应用

如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24

若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x₁＝2，x₂＝12

当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2，所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12

如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝ $\text{[math]}$ AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

学习任务：
1. （1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是___________；（填出序号即可）
  
  A . 转化思想； B . 数形结合思想； C . 分类讨论思想； D . 归纳思想
2. （2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的 $\text{[math]}$ ？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．
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二、动态几何问题

15. (2024九上·邻水期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P ， Q分别从点A ， B同时开始沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动（运动方向如图所示），点P的速度为 $\text{[math]}$ ，点Q的速度为 $\text{[math]}$ ，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，则可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2021九上·依安期末) 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（）

A . 2s或 $\text{[math]}$ s B . 1s或 $\text{[math]}$ s C . $\text{[math]}$ s D . 2s或 $\text{[math]}$ s

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17. 如图， $\text{[math]}$ 是一条射线， $\text{[math]}$ ，一只蚂蚁由点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 爬行，同时另一只蚂蚁由点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 方向爬行，则经过 $\text{[math]}$ 后，两只蚂蚁与点 $\text{[math]}$ 组成的三角形的面积为 $\text{[math]}$ ．

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18. (2023九上·南昌期中) 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，点A ， C的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D以2个单位长度/s的速度从A出发沿A至O方向向终点O运动，点P以1个单位长度/s的速度从C出发沿C至B方向向终点B运动，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为．

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19. 如图，在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上并从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向运动；动点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上并同时从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向运动．如果点 $\text{[math]}$ 的运动速度均为 $\text{[math]}$ ，那么运动多少秒时，它们相距 $\text{[math]}$

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20. (2023九上·市南区期中) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm ， BC＝3cm ，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE ，连接CD ．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s ，连接CP ， PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
1. （1）当CP⊥AB时，求t的值；
2. （2）设五边形BCDQP的面积为S（cm²），求S与t之间的函数关系式；
3. （3）是否存在某一时刻t ，使五边形BCDQP的面积为10？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4. （4）当t＝时，PQ∥CD ．（此问只需填空）
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21. (2024八下·杭州月考) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始沿边 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动；与此同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始沿边 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度移动，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，当点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，两点停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．
1. （1）填空： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的长度等于 $\text{[math]}$ ？
3. （3）是否存在 $\text{[math]}$ 的值，使得五边形 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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22. (2024九上·蛟河期末) 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D出发，沿射线 $\text{[math]}$ 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P ， Q分别从点D ， C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
1. （1）设 $\text{[math]}$ 的面积为S ，求S与t之间的函数关系式；
2. （2）当t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
3. （3）当t为何值时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
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