高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

更新时间：2021-08-23 浏览次数：145 类型：单元试卷

一、单选题

1. (2021·枣庄模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的焦点到其准线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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2. (2021·青岛模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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3. (2020高三上·苏州开学考) 若方程 $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·聊城模拟) 已知A ， B ， C是双曲线 $\text{[math]}$ 上的三点，直线AB经过原点O ， AC经过右焦点F ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·枣庄模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的左焦点 $\text{[math]}$ 、右焦点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是两曲线的一个交点，且 $\text{[math]}$ .过 $\text{[math]}$ 作倾斜角为45°的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的上方），且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·福州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上的任意一点（不是顶点），过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 角平分线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是坐标原点．若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2020·菏泽模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点O的距离之比为 $\text{[math]}$ ，则实数a的值为（）．

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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8. (2021高二上·昌吉期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的短轴长为2，上顶点为 $\text{[math]}$ ，左顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021·潍坊模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，则以下说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的实轴长为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$

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10. (2021·淄博模拟) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）．

A . 离心率 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为3 C . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为2

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11. (2021·烟台模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一个焦点 B . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . 过点 $\text{[math]}$ 作直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，则满足 $\text{[math]}$ 的直线有且只有两条 D . 设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上三点且 $\text{[math]}$ 关于原点对称，则 $\text{[math]}$ 斜率存在时其乘积为 $\text{[math]}$

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12. (2020高二上·枣庄期末) 我们通常称离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为左、右顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为上、下顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ D . 四边形 $\text{[math]}$ 的内切圆过焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022·广东二模) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± $\text{[math]}$ x，则它的离心率为．

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14. (2021·淄博模拟) 若抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到其焦点的距离是点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴距离的3倍，则 $\text{[math]}$ 等于.

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15. (2021·湖北模拟) 已知椭圆C的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，直线AB过 $\text{[math]}$ 与椭圆交于A ， B两点，当 $\text{[math]}$ 为正三角形时，该椭圆的离心率为.

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16. (2020高二上·临沂期中) 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点 $\text{[math]}$ ，且长轴长是短轴长的 $\text{[math]}$ 倍，则其标准方程为.

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四、解答题

17. (2022高二上·新邵期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点重合.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）若抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点的坐标.
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18. (2017·青岛模拟) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁、A₂ ，上、下顶点分别为B₂、B₁ ， O为坐标原点，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x²+y²= $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣ $\text{[math]}$ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

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19. (2019·黄冈模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，椭圆 $\text{[math]}$ 上的点到焦点 $\text{[math]}$ 的距离的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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20. (2017·聊城模拟) 已知右焦点为F的椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）过点M（1， $\text{[math]}$ ），直线x=a与抛物线L：x²= $\text{[math]}$ y交于点N，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中O为坐标原点．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）直线l与椭圆C交于A、B两点．
  ①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；
  ②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．
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21. (2017高二上·阜宁月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切.
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）已知点A、B为动直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
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22. (2018·山东模拟) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的外角平分线 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，且在第一象限，过 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线交椭圆于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，问： $\text{[math]}$ 的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
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