高中数学人教A版（2019）选修一第一章空间向量与立体...

更新时间：2021-08-29 浏览次数：214 类型：单元试卷

一、单选题

1. (2020高二上·柯桥期末) 在空间直角坐标系中，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2020高二上·金台期末) 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. (2020高二上·池州期末) 已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若 $\text{[math]}$ ，则“A，B，C，D四点共面”是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的（）

A . 必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2020高二上·西青期末) 设平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . -4 C . -2 D . 4

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5. (2021高二下·成都月考) 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2020高二上·丽水期末) 如图，正三角形 $\text{[math]}$ 与正三角形 $\text{[math]}$ 所在平面互相垂直，则二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2020高二上·福州期中) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021高二下·诸暨期末) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角正弦值的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高二下·思明期中) 已知空间四点 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 点O到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . O，A，B，C四点共面

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10. (2020高二上·漳州期中) 将直角三角形 $\text{[math]}$ 沿斜边上的高 $\text{[math]}$ 折成 $\text{[math]}$ 的二面角，已知直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么下列说法正确的是（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积是 $\text{[math]}$ C . 二面角 $\text{[math]}$ 的正切值是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是 $\text{[math]}$

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11. (2021高二下·河北期末) （多选题）在如图所示的几何体中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均与底面 $\text{[math]}$ 垂直，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 平行 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积是 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 到平面AEF的距离为 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的取值范围是 $\text{[math]}$

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12. (2020高二下·常熟期中) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 位置，连结 $\text{[math]}$ ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的最大角为 $\text{[math]}$ B . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ C . 当二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 存在某个位置，使得 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021高二下·南京开学考) 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

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14. (2020高二上·北京期中) 棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为．

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15. (2021高二下·温州期中) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），则当 $\text{[math]}$ 取最小值时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为.

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16. (2020高二上·大同期中) 已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为．

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四、解答题

17. (2021高二下·桂林期末) 如图，长方体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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18. (2021高二下·四川期末) 如图1所示，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，现沿着对角线 $\text{[math]}$ 折成一个四面体 $\text{[math]}$ ，如图2所示．
1. （1）在图2中，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若图2中 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的三等分点（靠近点 $\text{[math]}$ ），求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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19. (2021高二上·抚松开学考) 如图，四梭锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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20. (2021高二下·雅安期末) 如图，面 $\text{[math]}$ 是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段 $\text{[math]}$ 是该圆柱的一条母线， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）当点E为棱BC的中点时，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当轴截面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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21. (2021高二下·保山期末) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，试确定点 $\text{[math]}$ 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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22. (2021高二下·汕头期末) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
1. （1）求证：AE⊥平面PBC；
2. （2）是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
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