高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第四节...

更新时间：2022-08-13 浏览次数：157 类型：同步测试

一、单选题

1. (2022高一下·开封期末) 如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，则下列结论正确的是（）

A . 该八面体的体积为 $\text{[math]}$ B . 该八面体的外接球的表面积为16π C . $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$

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2. (2022高一下·河南期末) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点A到平面PBC的距离为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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3. (2022高二下·南宁期末) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

4. (2022高一下·佛山期末) 在正方体 $\text{[math]}$ 中，M是 $\text{[math]}$ 的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）

A . 当N为棱 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ B . 当N为棱 $\text{[math]}$ 中点时，MN与平面 $\text{[math]}$ 所成角为30° C . 有且仅有三个点N，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 有且仅有四个点N，使得MN与 $\text{[math]}$ 所成角为60°

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5. (2022高二下·玉溪期末) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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三、解答题

6. (2022高一下·恩施期末) 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）若多面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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7. (2023高一下·合肥期末) 如图， $\text{[math]}$ 是半球的直径， $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 依次是半圆 $\text{[math]}$ 上的两个三等分点， $\text{[math]}$ 是半球面上一点，且 $\text{[math]}$ ，
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在底面圆内的射影恰在 $\text{[math]}$ 上，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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8. (2022高一下·东莞期末) 如图，在圆柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是圆柱轴截面上的母线.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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9. (2022高二下·绵阳期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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10. (2022高二下·双鸭山期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面ABCD， $\text{[math]}$ ，点F为线段SD中点
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 面SAB；
2. （2）求异面直线FC与BD所成角的大小．
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11. (2022高二下·虹口期末) 如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2） ①求二面角 $\text{[math]}$ 大小．
  ②求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小．
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12. (2022高二下·咸阳期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 丄平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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13. (2022高二下·阜阳期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面AMN．
2. （2）若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长．
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14. (2022高二下·南宁期末) 已知在正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F，G分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 不平行；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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15. (2022高二下·舟山期末) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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16. (2022高二下·韶关期末) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 侧面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．
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17. (2023高三上·天河月考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的中点是M，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值．
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18. (2022高二下·番禺期末) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角大小.
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