浙教版备考2023年中考数学一轮复习70.三角形的外接圆与外...

更新时间：2023-01-09 浏览次数：96 类型：一轮复习

一、单选题（每题3分，共30分）

1. (2022九上·定海期中) $\text{[math]}$ 的外心在三角形的内部，则 $\text{[math]}$ 是（）

A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 无法判断

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2. (2022九上·杭州期中) 直角三角形的外心在（）

A . 直角顶点 B . 直角三角形内 C . 直角三角形外 D . 斜边中点

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3. (2024九下·大庆模拟) 三角形的外心是三角形的（）

A . 三条中线的交点 B . 三条角平分线的交点 C . 三边垂直平分线的交点 D . 三条高所在直线的交点

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4. (2022九上·吴江月考) 如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）

A . （0，0） B . （2，3） C . （5，2） D . （1，4）

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5. (2022·运城模拟) 如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）

A . 49° B . 47.5° C . 48° D . 不能确定

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6. (2024八下·桥西期中) 如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（）

A . 100° B . 95° C . 90° D . 50°

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7. (2022八上·杭州期中) 若AM、AN分别是 $\text{[math]}$ 的高线和中线，AG是 $\text{[math]}$ 的角平分线，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·德城模拟) 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）

A . cosθ(1+cosθ) B . cosθ(1+sinθ) C . sinθ(1+sinθ) D . sinθ(1+cosθ)

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9. (2023九上·绍兴期中) 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（）

A . O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B . O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心 C . O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D . O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心

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10. (2022·德阳) 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 的延长线和 $\text{[math]}$ 的外接圆相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中一定正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. (2022七上·牟平期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是 $\text{[math]}$ 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除 $\text{[math]}$ 外把你认为外心也是O的三角形都写出来．

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12. (2023九上·萧山期中) 如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心是点，弧 $\text{[math]}$ 的长是.

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13. (2020·徐州) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为.

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14. (2022·威远模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的三边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的外接圆半径.

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15. (2022九上·余姚月考) 已知一个直角三角形的两边长分别为5cm，12cm，则此三角形的外接圆半径是 .

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16. (2021九上·寿光期中) 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. (2020·凉山州) 如图， $\text{[math]}$ 的半径为R，其内接锐角三角形ABC中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别是a、b、c
1. （1）求证： $\text{[math]}$
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用（1）的结论求AB的长和 $\text{[math]}$ 的值
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18. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
1. （1）求CE的长；
2. （2）求证：△ABC为等腰三角形．
3. （3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
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19. (2022·黔东南)
1. （1）请在图中作出 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
2. （2）如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ .
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径.
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20. (2021九上·南宁期中) 如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.
1. （1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为 $\text{[math]}$ ，将正n边形的“接近度”定义为 $\text{[math]}$ .于是 $\text{[math]}$ 越小，该正n边形就越接近于圆，
  ①若 $\text{[math]}$ ，则该正n边形的“接近度”等于.
  ②若 $\text{[math]}$ ，则该正n边形的“接近度”等于.
  ③当“接近度”等于.时，正n边形就成了圆.
2. （2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为 $\text{[math]}$ .分别计算 $\text{[math]}$ 时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？
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21. (2022·新昌模拟) 在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心.课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表格进行探究.

三角形关型	直角三角形	锐角三角形	钝角三角形
垂心的位置	直角顶点	①	在三角形外部
垂心的性质	三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍.
图形	图1	图2

（1）表格中①处应填：.
（2）小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明.
已知：如图1，⊙O是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ ， H是 $\text{[math]}$ 的垂心， $\text{[math]}$ ，垂足为E.
求证： $\text{[math]}$ .
（3）如图2，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，高线AF与高线CG交于点H， $\text{[math]}$ 于点E，为了证明 $\text{[math]}$ .小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B作了⊙O的直径BD，请继续小明的思路证明.

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22. (2021九上·宜兴期中) 阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m²＋n²＋1）（2m²＋n²－1）＝80，试求2m²＋n²的值.

解：设2m²＋n²＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t²－1＝80，t²＝81，

所以t＝±9，因为2m²＋n²≥0，所以2m²＋n²＝9.

上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
1. （1）已知实数x、y，满足（2x²＋2y²＋3）（2x²＋2y²－3）＝27，求x²＋y²的值；
2. （2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a²＋b²）（a²＋b²－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径.
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23. (2022九上·杭州期中) 如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠EAC＝120°.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
3. （3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.
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24. (2022·莲湖模拟)
1. （1）问题提出：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）问题探究：如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点（可与端点重合），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值；
3. （3）问题解决：某湿地公园拟建一个梯形花园 $\text{[math]}$ ，示意图如图3所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .管理员计划在 $\text{[math]}$ 区域种植水生植物，在 $\text{[math]}$ 区域种植甲种花卉.根据设计要求，要满足点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是锐角，且 $\text{[math]}$ ，若种植水生植物每平方米需400元，种植甲种花卉每平方米需100元，求种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用至少为多少元？
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