人教版初中数学几何辅助线进阶训练——正方形的辅助线（不含相似...

更新时间：2023-05-06 浏览次数：82 类型：复习试卷

一、阶段一（较易）

1. (2023八下·青秀期中)
感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连结ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F.易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF.
1. （1）探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F.求证：EB=EF.
2. （2）应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为.
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2. (2023八下·信阳期中)
1. （1）【阅读理解】如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等吗？为什么？
2. （2）【类比探究】问题①，如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 的右侧作等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
3. （3）【拓展应用】问题②，如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 的右侧作正方形 $\text{[math]}$ ，点B，C，E在同一直线上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的面积.
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3. (2023八下·杭州期中) 如图，在正方形ABCD中，AB=8，F是对角线AC的中点，点G、E分别在AD、CD边上运动，且保持AG=DE．连接GE、GF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE不可能为正方形，③GE长度的最小值为4 $\text{[math]}$ ；④四边形DGFE的面积保持不变；⑤△DGE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）

A . ①②③ B . ①③④⑤ C . ①③④ D . ③④⑤

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4. (2023·柳州模拟) 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 $\text{[math]}$ 到E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ ，经过推理和计算使问题得到解决

请回答：
1. （1）小明证明 $\text{[math]}$ 用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）
  
  A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$ 的取值范围是.
3. （3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
  参考小明思考问题的方法，解决问题：
  如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边的中点，G、F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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5. (2023·道里模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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6. (2023·南岗模拟) 如图，点E和W分别在正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于F，过B作 $\text{[math]}$ 于H，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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7. (2023·惠来模拟) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于 $\text{[math]}$ ．

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8. (2023八下·青秀月考) 如图1，把一个含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 和一个正方形 $\text{[math]}$ 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在正方形的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在（1）的条件下，请判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并加以证明；
3. （3）如图2，将这个含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点和正方形的顶点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在正方形的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线上，其他条件不变，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.
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9. (2023九下·义乌月考) 已知正方形 $\text{[math]}$ 的周长为16.E在 $\text{[math]}$ 边上运动， $\text{[math]}$ 的中点G， $\text{[math]}$ 绕E顺时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ .当A，C，F在同一条直线上，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·池州模拟) 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ ，点E为对角线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点F，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2）若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为5，则 $\text{[math]}$
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二、阶段二（一般）

11. (2023·黑龙江模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点M，交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的周长等于 $\text{[math]}$ ．其中结论正确的序号有（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①④ D . ①②③④

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12. (2023·南岗模拟) 如图，E是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．过F作 $\text{[math]}$ ，垂足为G，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 延长线于点H，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2023·交城模拟) 已知四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间满足的关系式．
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14. (2023九下·义乌月考) 如图，小王同学用图1的一副七巧板拼出如图2所示的“雄鹰”.已知正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，则图2中E、F两点之间的距离为.

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15. (2023九下·广水月考) 阅读下面材料.
小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，试说明理由.
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段 $\text{[math]}$ 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法.她的方法是将 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）.
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
1. （1）写出小炎的推理过程；
2. （2）如图3，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都不是直角，则当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足于关系时，仍有 $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D、E均在边BC上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DE的长.
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16. (2022·虹口模拟) 如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，点M是边 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结 $\text{[math]}$ 并延长交射线 $\text{[math]}$ 于点F，那么 $\text{[math]}$ 的长为．

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17. (2022·交城模拟) 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，将直线 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为中心逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，旋转后的直线与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
1. （1）问题解决：
  请你解决老师提出的问题；
2. （2）数学思考：
  如图2，“兴趣小组”的同学将 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 的方向平移到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．他们认为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．他们的认识是否正确？请说明理由．
3. （3）创新探究
  “创新小组”在“兴趣小组”所提问题的基础上，又提出如下新问题，请你思考并解决该问题：如图3，若 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长度是．（直接写出答案即可）
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18. (2023八下·保康期中) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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19. (2023八下·内江开学考) 如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝3，则BE的长为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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20. (2023九上·西安期末) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E，F分别为边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，点G，H分别为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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三、阶段三（较难）

21. (2019九上·萧山开学考) 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，求MN的长．

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22. (2019七下·成都期中) 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．
1. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
2. （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
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23. (2017八下·西华期末)
提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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24. (2021九上·余姚期中) 如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP²+BQ²＝PQ².

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25. (2021八下·历下期末) 已知：如图，正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平分正方形的两个外角，且满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为三边围成三角形，试猜想该三角形的形状，并证明你的结论．

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26. (2017九上·虎林期中) 如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．
1. （1）当点F与点C重合时如图1，证明：DF+BE=AF；
2. （2）当点F在DC的延长线上时如图2，当点F在CD的延长线上时如图3，线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
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27. (2017八下·汶上期末) 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
1. （1）求证：EB=GD；
2. （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
3. （3）若AB=2，AG= $\text{[math]}$ ，求EB的长．
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28.
四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．
（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

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29. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积.小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若 $\text{[math]}$ ，则AD的长为__________.

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30.
(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；

(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，(BC>AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．

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