2023年中考数学探究性试题复习7 二次根式-在线组卷

1. (2023八下·淮北期中) 观察下列各式．

第1个等式： $\text{[math]}$

第2个等式： $\text{[math]}$

第3个等式： $\text{[math]}$

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：

（1）第4个等式：
（2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明．

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2. (2023七下·武昌期中) “比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，

即： $\text{[math]}$ ；

例如：比较 $\text{[math]}$ 与2的大小.

∵ $\text{[math]}$ 又∵ $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ .

请根据上述方法解答以下问题：

（1） $\text{[math]}$ 的整数部分是， $\text{[math]}$ 的小数部分是；
（2）比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.
（3）已知 $\text{[math]}$ ，试用“比差法”比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.

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3. (2024八下·武汉期中) 先阅读，再解答.由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： $\text{[math]}$ ，请完成下列问题：

（1） $\text{[math]}$ 的有理化因式是；
（2）化去式子分母中的根号： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（3）比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由.

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4. (2023八下·晋安期中) 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值，他是这样解答的：

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ .

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2）化简： $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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5. (2023八下·龙江月考) 在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：

已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．他们是这样解答的：

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ．

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

（1） $\text{[math]}$ ．
（2）化简 $\text{[math]}$ ；

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6. (2023八下·仙居期中) 阅读材料：像 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．”

聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$

请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：

（1） $\text{[math]}$ 的有理化因式是， $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 的有理化因式是， $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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7. (2023·舟山模拟) 观察下列各式：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， …

（1）请观察规律，并写出第④个等式：；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；
（3）请证明（2）中的结论.

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8. (2023八下·青秀月考) 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.他是这样解答的：

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ .

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1） $\text{[math]}$ ＝；
（2）化简 $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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9. (2023八下·鹿城月考) 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $\text{[math]}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：

若设 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为整数），则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .这样小明就找到了一种把类似 $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为整数时，用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的式子分别表示 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为正整数，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）化简下列各式：
① $\text{[math]}$

② $\text{[math]}$

③ $\text{[math]}$ .

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10. (2023八下·鄱阳月考) 阅读下面解题过程．

例：化简 $\text{[math]}$ ．

解： $\text{[math]}$

请回答下列问题．

（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：
① $\text{[math]}$ ＝；
② $\text{[math]}$ ＝．
（2）应用：化简 $\text{[math]}$
（3）拓展： $\text{[math]}$ ．（用含n的式子表示，n为正整数）

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11. (2023八上·赵县期末) 设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)．例如，当a=4时，a5表示的两位数是45．

（1）尝试：
①当a=1时，15²=225=1×2×100+25 ；
②当a=2时，25²=625=2×3×100+25；
③当a=3时，35²= 1225=；
．．．．．．
（2）归纳： $\text{[math]}$ 与100a(a+1)+ 25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 $\text{[math]}$ 与100a的差为2525，求a的值．

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12. (2023八上·宁波期末) 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，

如： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将 $\text{[math]}$ 化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若 $\text{[math]}$ 且a，m，n均为正整数，求a值.

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13. (2023八上·港南期末) 材料：如何将双重二次根式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 化简呢？如能找到两个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，双重二次根式得以化简.

例如化简： $\text{[math]}$ ，

因为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 $\text{[math]}$ 的形式，且能找到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

（1）填空： $\text{[math]}$ =， $\text{[math]}$ =；
（2）化简： $\text{[math]}$ ；
（3）计算： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ .

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14. (2023八上·泉州期末) 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\text{[math]}$ ＝（1+ $\text{[math]}$ ）².设a+b $\text{[math]}$ （其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b $\text{[math]}$ ＝m²+2n²+2mn $\text{[math]}$ ， ∴a＝m²+2n² ， b＝2mn.这样可以把部分a+b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\text{[math]}$ ＝（m+n $\text{[math]}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ $\text{[math]}$ ＝（+ $\text{[math]}$ ）²；
（3）化简 $\text{[math]}$

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15. (2022八上·大田期中) 我们知道， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1） $\text{[math]}$ 分母有理化的结果是；
（2） $\text{[math]}$ 分母有理化的结果是；
（3） $\text{[math]}$ 分母有理化的结果是；
（4）利用以上知识计算： $\text{[math]}$ .

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16. (2024八下·邯郸期末) 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律，
特例 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$
特例 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$
特例 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$
特例 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 填写一个符合上述运算特征的例子 $\text{[math]}$ ；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果 $\text{[math]}$ 为正整数，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示上述的运算规律为：；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简： $\text{[math]}$ .

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17. (2022九上·清水月考) 阅读下列材料，然后回答问题．

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\text{[math]}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求 $\text{[math]}$ ．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则 $\text{[math]}$ ．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．

（1）计算： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2） m 是正整数， a = $\text{[math]}$ ， b = $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．求 m．
（3）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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18. (2022八上·淇滨月考) 阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\text{[math]}$ ＝（1+ $\text{[math]}$ ）² ．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b $\text{[math]}$ ＝（m+n $\text{[math]}$ ）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b $\text{[math]}$ ＝m²+2n²+2 $\text{[math]}$ mn．∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\text{[math]}$ ＝（m+n $\text{[math]}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ $\text{[math]}$ ＝（+ $\text{[math]}$ ）²；
（3）若a+6 $\text{[math]}$ ＝（m+n $\text{[math]}$ ）² ，且a、m、n均为正整数，求a的值？

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*注意事项：

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