2023-2024学年高中数学人教A版必修二 6.4 平面向...

更新时间：2023-09-13 浏览次数：120 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023高一下·房山期末) 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 7 C . $\text{[math]}$ D . 19

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2. (2023高一下·惠州期末) 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则该三角形的形状是（）

A . 直角三角形 B . 等腰三角形 C . 等边三角形 D . 钝角三角形

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3. (2023高一下·清远期末) 在△ABC中，D为BC的中点，3sin∠ADB=2sin∠ACB，BC=6，AB=4 $\text{[math]}$ ，则△ABC的面积为（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 3 $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . 4 $\text{[math]}$

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4. (2023高一下·房山期末) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·黄埔月考) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高一下·宁波期末) 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于 $\text{[math]}$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $\text{[math]}$ ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 线段上，且满足 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的费马点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高一下·深圳月考) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， E为AD上一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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8. (2023高三上·阳江开学考) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $\text{[math]}$ 的面积为S ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023高一下·台州期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，D是BC的中点，E是AC上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

10. (2023高一下·海南期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的高为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等腰三角形 B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为直角三角形 C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为直角三角形 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为锐角三角形

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11. (2023高一下·嘉兴期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，则该三角形为直角三角形 D . 若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，则 $\text{[math]}$

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12. (2023高一下·嘉兴期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 边上的中线长 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为2 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$

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13. (2023高一下·广州期末) 在 $\text{[math]}$ 中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .下列命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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14. (2023高一下·衢州期末) 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ 是正八边形 $\text{[math]}$ 边上任意一点，则下列说法正确的是（）

A . 若函数 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

15. (2023高一下·嘉兴期末) 海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ 所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则该三角形内切圆的半径为.

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16. (2023高二下·安康月考) 在 $\text{[math]}$ 中，点D在边 $\text{[math]}$ 上（不含端点）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值为.

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17. (2023高一下·黄浦期末) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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18. (2023高一下·台州期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ 恒成立，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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19. (2023高二下·镇巴县期末) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 的角平分线与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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20. (2023高一下·浦东期末) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点绕定点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角后，分别到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点位置，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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四、解答题

21. (2024高一下·喀什月考) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角A的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， △ABC的面积 $\text{[math]}$ ，求△ABC的周长．
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22. (2023高一下·广州期末) 已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， b＝4，求 $\text{[math]}$ 的周长.
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23. (2023·浙江模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求A；
2. （2）点D在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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24. (2023高三上·哈尔滨开学考) 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2．
1. （1）若A+C=120°，a=2c，求边长c；
2. （2）若A-C=15°，a= $\text{[math]}$ csinA，求△ABC的面积．
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25. (2023高三上·开远月考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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26. (2023高一下·资阳期末) 在 $\text{[math]}$ 中，点P为 $\text{[math]}$ 所在平面内一点.
1. （1）若点P在边BC上，且 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点P是 $\text{[math]}$ 的重心.
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  
  ②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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27. (2023高一下·达州期末) 某公司竞标得到一块地，如图1，该地两面临湖（BC，CD面临湖）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求BC，CD的长；
2. （2）该公司重新设计临湖面，如图2， $\text{[math]}$ 是以BD为直径的半圆，P是 $\text{[math]}$ 上一点，BP，PD是一条折线观光道，已知观光道每米造价300元，若该公司预计用88000元建观光道，问预算资金是否充足?
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28. (2023高一下·房山期末) 某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形 $\text{[math]}$ （如图所示），其中三角形 $\text{[math]}$ 区域为儿童活动场所，三角形 $\text{[math]}$ 区域为文艺活动场所，三角形 $\text{[math]}$ 区域为球类活动场所， $\text{[math]}$ 为运动小道（不考虑宽度）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

条件①： $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （3）在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形 $\text{[math]}$ ）的面积最大？
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