【B卷】第三章圆—2023-2024学年北师大版九年级下册...

更新时间：2024-01-16 浏览次数：80 类型：单元试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1. (2023九上·东阳月考) 如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上(不与点A，点B重合)，连结PD交⊙O于点C，且PC=OB．设∠P=α，∠B=β，下列说法正确的是（）

A . α+β=90° B . 3α+2β=180° C . 5α+4β=180° D . β-α=30°

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2. (2023九上·萧山期中) 下列命题中，正确的命题是（）

A . 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 B . 三点确定一个圆 C . 平分一条弦的直径一定垂直于弦 D . 相等的两个圆心角所对的两条弧相等

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3. (2023九上·石家庄月考) 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（）米

A . 1 B . 0.8 C . 0.6 D . 0.5

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4. 如图，点O是 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心，点I是 $\text{[math]}$ 的内心，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，C是 $\text{[math]}$ 的中点．若∠C=110°，则∠ABC的度数为（）

A . 55° B . 60° C . 65° D . 75°

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6. (2023九上·余姚期中) 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023九上·平山期中) 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O），其直径为AB ，一等腰直角三角板MNB绕点B旋转，斜边BN交半圆O于点C ， BM交半圆O于点D ，点C在量角器上的读数为 $\text{[math]}$ .关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）
结论Ⅰ： $\text{[math]}$ ；
结论Ⅱ：当边MN与半圆O相切于点E（点E在量角器上的读数为 $\text{[math]}$ ）时， $\text{[math]}$

A . 只有结论Ⅰ对 B . 只有结论Ⅱ对 C . 结论Ⅰ、Ⅱ都对 D . 结论Ⅰ、Ⅱ都不对

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8. (2024九上·番禺期末) 如图， $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别相切于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的大小分别为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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9. (2023·福建) 我国魏晋时期数学家刘微在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 $\text{[math]}$ 的近似值为3.1416．如图， $\text{[math]}$ 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 $\text{[math]}$ 的面积，可得 $\text{[math]}$ 的估计值为 $\text{[math]}$ ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 $\text{[math]}$ 的估计值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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10. 如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴正半轴上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ，现有以下4个结论：① $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC=60°；③△ABC的外接圆的半径等于 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确的是（）.

A . ①② B . ②③ C . ③④ D . ①④

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. (2023九上·长安期中) 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE：BF＝2：1，连接AF和DE交于点G ，连接CG ，则CG的最小值是．

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12. (2023九上·萧山期中) 如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心是点，弧 $\text{[math]}$ 的长是.

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13. (2023·镇江) 已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作 $\text{[math]}$ ．若对于符合条件的任意实数k，一次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 总有两个公共点，则r的最小值为．

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14. (2023九上·重庆市月考) 如图，扇形纸片 $\text{[math]}$ 的半径为2，沿 $\text{[math]}$ 折叠扇形纸片，点O恰好落在 $\text{[math]}$ 上的点C处，图中阴影部分的面积为.

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15. (2023九上·浙江期中) 量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图(如图2)。已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边PE、PF分别过点A、B．连结CP，过点O作OM⊥CP交CP于点M，交AP于点N若AB=8，则NB的最小值为；若点Q为 $\text{[math]}$ 的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为.

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三、作图题（共7分）

16. (2023九上·江北期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 的外接圆的半径为；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到 $\text{[math]}$ ，请在图中画出 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
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四、解答题（共7题，共68分）

17. 平面内有A，B，C，D四个点，试探索：
1. （1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作个圆．
2. （2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆．
3. （3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作个圆．
4. （4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？
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18. (2023九上·石家庄期中) 如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm ， ∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧 $\text{[math]}$ 分别交OA、OB于点M、N ．
1. （1）点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；
2. （2）点T在左半弧上，若AT与圆弧相切，求AT的长．
3. （3） Q为优弧上一点，当△AOQ面积最大时，请直接写出∠BOQ的度数为．
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19. (2024九上·婺城月考) 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
1. （1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到个．
2. （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
  ①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
  ②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
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20. (2023九上·雨花月考) 【我们画不出一个完美的圆，但完美的圆是存在的，虽不能至，心向往之 $\text{[math]}$ 罗翔】已知四边形 $\text{[math]}$ 是半径为 $\text{[math]}$ 的内接四边形，弦 $\text{[math]}$ 的长度是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 上的一个动点．
1. （1）填空： $\text{[math]}$ 的度数是，并判断平行四边形 $\text{[math]}$ 是否会是正方形 $\text{[math]}$ 填“是”或“不是” $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 沿着劣弧 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始，顺时针运动到点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的外心 $\text{[math]}$ 所经过的路径的长度；
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 另一个动点，并始终满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系； $\text{[math]}$ 不必进行证明 $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ 令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．
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21. (2023·红花岗模拟) 【问题背景】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中，将劣弧 $\text{[math]}$ 沿弦 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，使得劣弧 $\text{[math]}$ 恰好过圆心 $\text{[math]}$ ，圆心 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【探究发现】如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 直接写出 $\text{[math]}$ 的度数为， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；
2. （2）【深入探究】如图 $\text{[math]}$ ，将劣弧 $\text{[math]}$ 沿弦 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，弧 $\text{[math]}$ 不经过圆心 $\text{[math]}$ ，在劣弧 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
3. （3）【拓展应用】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 条件下，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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22. (2023九上·靖江期末) 小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 长度不变时.则点C在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上运动（不与A、B重合）.
1. （1）【探索发现】
  
  小明继续探究，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长度不变.作 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点F，小明计算后发现 $\text{[math]}$ 的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动.请你计算 $\text{[math]}$ 的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征.
2. （2）【拓展应用】
  在【探索发现】的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
3. （3）【灵活运用】
  在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、点E分别在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交于点F，试求出 $\text{[math]}$ 周长的最大值.
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23. (2023·青海) 综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理

小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：

将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
1. （1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\text{[math]}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ （水平线），请在图2中计算C到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ .
2. （2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\text{[math]}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ （水平线），请在图4中计算C到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （结果保留根号）.
3. （3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ .此时中心轨迹最高点是C（即 $\text{[math]}$ 的中点），转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ （水平线），在图6中计算C到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （结果保留根号）.
4. （4）归纳推理：比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）.
5. （5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离 $\text{[math]}$ .这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.
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