高中数学三轮复习（直击痛点）：专题11向量极化恒等式

更新时间：2024-02-05 浏览次数：13 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2023高二上·东莞开学考) $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2017·新课标Ⅱ卷理) 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）的最小值是（）

A . ﹣2 B . ﹣ $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . ﹣1

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3. (2017高二上·大连开学考) 在边长为1的正三角形ABC中， $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =y $\text{[math]}$ ，x＞0，y＞0，且x+y=1，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最大值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2018高二上·嘉兴月考) 已知 $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形， $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 内一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2017高二上·马山月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 有最小值，则 $\text{[math]}$ 点坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

6. (2023高三上·普宁月考) 已知 $\text{[math]}$ 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（）

A . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·东莞期中) 如图，底面 $\text{[math]}$ 为边长是2的正方形，半圆面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ .点P为半圆弧 $\text{[math]}$ 上（不含A，D点）的一动点.下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的数量积恒为0 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ C . 不存在点P，使得 $\text{[math]}$ D . 点A到平面 $\text{[math]}$ 的距离取值范围为 $\text{[math]}$

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三、填空题

8. (2023高一上·天津市月考) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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9. (2023高三上·重庆市月考) 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形 $\text{[math]}$ 边长为2， $\text{[math]}$ 是正八边形 $\text{[math]}$ 八条边上的动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. (2023高三上·哈尔滨期中) 在边长为2的等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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11. (2023高三上·五华期中) 向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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12. (2023高二上·南宁月考) 已知 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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13. (2023高三上·长沙模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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14. (2023高二上·长沙开学考) 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意一点（包含端点），则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. (2023高三上·上海市月考) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. (2023高二上·芜湖开学考) 四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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17. (2023高二下·昆明期末) 若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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18. (2023高一下·楚雄期末) 已知 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心为 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一动点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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19. (2017高二下·湖州期末) 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为120°，则 $\text{[math]}$ =，| $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ |（λ∈R）的最小值为．

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20. (2017高二下·湖州期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，若向量 $\text{[math]}$ 满足| $\text{[math]}$ ﹣（ $\text{[math]}$ ）|=| $\text{[math]}$ |，则| $\text{[math]}$ |的最大值是．

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四、解答题

21. (2023高二上·广州期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，左、右顶点及上顶点分别记为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，以及取得最大值时直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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22. (2023高三上·湖州期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直角坐标原点记为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作倾斜角为锐角的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）设椭圆上有一动点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，判别椭圆上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得非零向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 平行，请说明理由．
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23. (2017高一下·新余期末) 已知 $\text{[math]}$ =（sinx，cosx）， $\text{[math]}$ =（sinx，k）， $\text{[math]}$ =（﹣2cosx，sinx﹣k）．
1. （1）当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，求| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |的取值范围；
2. （2）若g（x）=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ ，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣ $\text{[math]}$ ．
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