【培优版】北师大版数学八上1.3勾股定理的应用同步练习

更新时间：2024-07-10 浏览次数：33 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023八上·从江开学考) 如图，圆柱底面半径为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一母线上，用一根棉线从 $\text{[math]}$ 点顺着圆柱侧面绕 $\text{[math]}$ 圈到 $\text{[math]}$ 点，则这根棉线的长度最短为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2020八上·运城期中) 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示直角三角形的两直角边 $\text{[math]}$ ，下列四个说法：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ ．其中说法正确的是（）

A . ①③ B . ①②③ C . ①②④ D . ①②③④

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3. (2020八上·龙岗月考) 勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点D，E，F，G，H，I都在矩形 $\text{[math]}$ 的边上，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积为（）．

A . 288 B . 400 C . 432 D . 440

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4. (2023八上·黄岛期中) 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A . 50.5寸 B . 52寸 C . 101寸 D . 104寸

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5. (2023八上·埇桥期中) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 盒子中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3cm C . $\text{[math]}$ D . 5cm

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6. (2023八下·黄埔期中) 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 $\text{[math]}$ 尺，则可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022八上·龙岗期末) 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $\text{[math]}$ ，将它往前推 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 处时（即水平距离 $\text{[math]}$ ），踏板离地的垂直高度 $\text{[math]}$ ，它的绳索始终拉直，则绳索 $\text{[math]}$ 的长是（） $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

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8. (2022八下·兴仁月考) 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离 $\text{[math]}$ 为（）

A . 3米 B . 5米 C . 7米 D . 9米

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二、填空题

9. (2023八上·菏泽经济技术开发月考) 如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．

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10. (2023八下·潼关期末) 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.

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11. (2024八上·深圳期末) 某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．

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12. (2024八上·榆树期末) 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是尺．

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13. (2022八上·顺义期末) 如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是 $\text{[math]}$ 时，有人为了抄近道而避开路的拐角 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路 $\text{[math]}$ .某学习实践小组通过测量可知， $\text{[math]}$ 的长约为6米， $\text{[math]}$ 的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A， $\text{[math]}$ 处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．

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三、解答题

14. (2021八上·九台期末) 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从 $\text{[math]}$ 移动到 $\text{[math]}$ ，同时小船从 $\text{[math]}$ 移动到 $\text{[math]}$ ，且绳长始终保持不变． $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点在一条直线上， $\text{[math]}$ ．回答下列问题：
1. （1）根据题意可知： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＞”、“＜”、“＝”）．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
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15. (2021八上·江津期中) 为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：
1. （1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝千米，才能使它到两所学校的距离相等？
2. （2）证明上题中的结论.
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16. (2023八上·萧县期中) 学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

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17. (2021八下·潜江期末) 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $\text{[math]}$ 河边原有两个取水点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ 由于某种原因，由 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $\text{[math]}$ 在同一条直线上），并新修一条路 $\text{[math]}$ 测得 $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米.
1. （1）问 $\text{[math]}$ 是否为从村庄 $\text{[math]}$ 到河边的最近路.请通过计算加以说明；
2. （2）求新路 $\text{[math]}$ 比原路 $\text{[math]}$ 少多少千米.
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18. (2021八上·碑林期末) 如图，曲柄连杆装置是很多机械上不可缺少的，曲柄 $\text{[math]}$ （定长）绕固定点 $\text{[math]}$ 做圆周运动，连杆 $\text{[math]}$ （定长）拉动活塞做往复运动.如图1，当曲柄的 $\text{[math]}$ 端运动到最右边时（ $\text{[math]}$ 三点共线）， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .如图2，当曲柄的 $\text{[math]}$ 端运动到最左边时（点 $\text{[math]}$ 三点共线）， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲柄 $\text{[math]}$ 和连杆 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.
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19. (2021八上·滕州月考) 如图，小明家在一条东西走向的公路 $\text{[math]}$ 北侧 $\text{[math]}$ 米的点A处，小红家位于小明家北 $\text{[math]}$ 米（ $\text{[math]}$ 米）、东 $\text{[math]}$ 米（ $\text{[math]}$ 米）点B处．
1. （1）求小明家离小红家的距离 $\text{[math]}$ ；
2. （2）现要在公路 $\text{[math]}$ 上的点P处建一个快递驿站，使 $\text{[math]}$ 最小，请确定点P的位置，并求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. (2020八上·青山期中) 阅读材料，回答问题：
1. （1）中国古代数学著作图 $\text{[math]}$ 周髀算经 $\text{[math]}$ 有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．” $\text{[math]}$ 这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为 $\text{[math]}$ ” $\text{[math]}$ 上述记载表明了：在 $\text{[math]}$ 中，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．
2. （2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图” $\text{[math]}$ 如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形 $\text{[math]}$ ，利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
  证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ ．
  
  又 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ ，
  
  整理得 $\text{[math]}$ ，
  
  $\text{[math]}$ ．
3. （3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BE的长．
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