菱形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练

更新时间：2024-10-18 浏览次数：64 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024九上·醴陵开学考) 下列命题是真命题的是（）

A . 有两边相等的平行四边形是菱形 B . 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C . 四个角都相等的平行四边形是正方形 D . 有一个角是直角的四边形是矩形

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2. (2024八下·博山期末) 如图，菱形 $\text{[math]}$ 中，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九上·惠城开学考) 如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3 $\text{[math]}$

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4. (2024九上·龙岗开学考) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，菱形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则顶点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024九上·北京市开学考) 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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6. (2024九上·广州开学考) “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为 $\text{[math]}$ 的蓝丝带，若 $\text{[math]}$ ，则重叠部分图形形状和面积分别是（）

A . 平行四边形， $\text{[math]}$ B . 平行四边形， $\text{[math]}$ C . 菱形， $\text{[math]}$ D . 菱形， $\text{[math]}$

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7. (2024·从江模拟) 如图，菱形ABCD中， $\text{[math]}$ 分别是BC，CD的中点，连接 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，则菱形ABCD的周长为（）

A . 5cm B . 6cm C . $\text{[math]}$ D . 8cm

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8. (2024八下·澄海期末) 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE ， EF ， G、H分别为AE、EF的中点，连接GH ．若∠D＝45°，AD=4，则GH的最小值为（）

A . 2 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2024八下·浏阳期中) 已知菱形的两条对角线分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则其面积是．

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10. (2024九上·南山开学考) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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11. (2024九上·成都月考) 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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12. (2023八下·宁波竞赛) 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则 $\text{[math]}$ =．

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13. (2024八下·拱墅期末) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6．点P ，点Q同时从点A出发，沿AB方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B ，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t ，已知当t＝1时，线段DC上有一点M ，使四边形PQMD是菱形．若运动过程中，线段DC上另有一点N ，使四边形PQND是菱形，则此时t＝．

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三、解答题

14. (2024八下·苍南期末) 如图是由 $\text{[math]}$ 个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，顶点称为这个矩形网格的格点，请按要求在矩形网格中画格点四边形．
1. （1）在图 $\text{[math]}$ 中画出一个以 $\text{[math]}$ 为对角线的平行四边形 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若小长方形的宽为 $\text{[math]}$ ，请在图 $\text{[math]}$ 中画出一个边长为 $\text{[math]}$ 的菱形 $\text{[math]}$ 注：图 $\text{[math]}$ ，图 $\text{[math]}$ 在答题纸上．
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15. (2024九上·洞口开学考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D从点C出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒 $\text{[math]}$ ．过点D作 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
备用图
1. （1）四边形 $\text{[math]}$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
2. （2）四边形 $\text{[math]}$ 能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
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16. (2024八下·昌黎期末) 如图，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD ， BC交于M ， N两点，连接CM ， AN ．
1. （1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
2. （2）当MN平分∠AMC时，
  ①求证：四边形ANCM为菱形；
  ②当四边形ABCD是矩形时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DM的长．
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17. (2024九上·龙马潭开学考) .如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）分别求出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的函数解析式．
3. （3）在 $\text{[math]}$ 的条件下，设 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的点，在平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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18. (2024八下·忠县期末) 如图所示四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O ，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， BD平分 $\text{[math]}$ .
图1 图2
1. （1）证明：四边形ABCD是菱形；
2. （2）如图1，过四边形ABCD的顶点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的左侧， $\text{[math]}$ 为等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 最短时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. (2024·青海) 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，
∴ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中位线，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ ① ）
∴ $\text{[math]}$ ．
同理可得： $\text{[math]}$ ．
∴中点四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
1. （1）请你补全上述过程中的证明依据.
2. （2）【探究二】
  原四边形对角线关系
  中点四边形形状
  不相等、不垂直
  平行四边形
  $\text{[math]}$
  菱形
  从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
  下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
3. （3）
  【探究三】
  原四边形对角线关系
  中点四边形形状
  不相等、不垂直
  平行四边形
  $\text{[math]}$
  ②
  从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是．
4. （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
5. （5）【归纳总结】
  请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
  原四边形对角线关系
  中点四边形形状
  ③
  ④
  结论：原四边形对角线时，中点四边形是．
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20. (2024·杭州模拟) 综合与实践
【问题情境】
如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且始终满足 $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转一定角度，得到线段 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 旋转后的对应点），并使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）【初步分析】
  线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为，位置关系为；
2. （2）【深入分析】
  如图②，再将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转90°，得到线段 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 旋转后的对应点），连接 $\text{[math]}$ ，请判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由：
3. （3）如图③，若点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且当点 $\text{[math]}$ 恰好为 $\text{[math]}$ 的中点时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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