二次函数之相似三角形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训练-在线组卷

1. (2022九上·义乌月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点B、C的坐标；

（2）设点 $\text{[math]}$ 与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2. (2021九上·昆明月考) 如图1，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 为二次函数图象的顶点．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的值；
（2）根据图象，直接写出关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
（3）如图2，抛物线对称轴为直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 组成的三角形与 $\text{[math]}$ 与相似，若存在，请求出满足条件的所有点 $\text{[math]}$ 坐标；若不存在，说明理由．

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3. (2022九上·余姚期末) 如图1，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.

（1）求点A，点C的坐标；
（2）如图2，连结AC，DC，过点C作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点E.求证：∠DCE＝∠CAO；
（3）如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长.

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4. (2024·喀什模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标和抛物线的解析式；
（2） $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不与点O．A重合），过点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线与直线 $\text{[math]}$ 及抛物线分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
①用含m的代数式表示线段PN的长；
②若以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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5. (2024·中江模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 对称轴是直线 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2） △POC有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M ，垂足为点H ，若以P ， M ， C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）该抛物线与直线 $\text{[math]}$ 相交于C，D两点， $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点且位于 $\text{[math]}$ 轴下方，直线 $\text{[math]}$ 轴，分别与 $\text{[math]}$ 轴和直线CD相交于点M，N.
①连续PC，PD，如图①，在点P运动的过程中， $\text{[math]}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②连结PB，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，如图②，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7. (2023九上·永康月考) 如图1，已知抛物线F₁：y＝﹣x²+2x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，抛物F₂：y＝ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点A、B，点P是射线CB上一动点.

（1）求抛物线F₂的表达式．
（2）如图2，过点P作PE⊥BC交抛物线F₁第一象限部分于点E，作EF $\text{[math]}$ AB交BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（3）抛物线F₁与F₂在第一象限内的图象记为“图象Z ”，过点P作PG $\text{[math]}$ y轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使△CPG与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标．

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8. (2024九上·随县月考) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交二次函数的图象于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线与直线 $\text{[math]}$ 的函数解析式；
（2）设点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
（3）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请写出理由．

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9. (2024九上·衡东期末) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A ，点C）．

（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图1，连结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线交于点D ，与 $\text{[math]}$ 交于点Q ．探究是否存在点P ，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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10. (2022九上·融水期中) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿直线 $\text{[math]}$ 折叠矩形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ ．使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处．分别以 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长及拋物线的解析式；
（2）一动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，同时动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，当 $\text{[math]}$ 为何值时，以 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？