2025高考一轮复习（人教A版）第五十讲正态分布

更新时间：2024-12-27 浏览次数：5 类型：一轮复习

一、选择题

1. (2024高三上·隆阳期中) 某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则抽测成绩在 $\text{[math]}$ 内的学生人数大约为（）（若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ）

A . 6828 B . 5436 C . 4773 D . 2718

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2. (2024高三上·四川模拟) 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·杭州月考) 某网反随机选取了某自媒体平台10位自媒体人，得到其粉丝数据（单位：万人）： $\text{[math]}$ ．若该平台自媒体人的粉丝数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为上述样本的平均数和标准差），根据上述数据，则下列说法中正确的个数是（）
（1）这10位自媒体人粉丝数据的平均数为2.0；
（2）这10位自媒体人粉丝数据的标准差为0.04；
（3）这10位自媒体人粉丝数据的第25百分位数为1.8；
（4）用样本估计总体，该平台自媒体人的粉丝数不超过2.2万的概率约为0.84135．
（附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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4. (2024高三上·北海月考) 某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（）

A . 0.2 B . 0.25 C . 0.4 D . 0.8

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5. (2024高二下·自贡月考) 某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则80分以上的人数大约是（）

A . 3173 B . 6346 C . 6827 D . 13654

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6. (2024高二下·石家庄期末) 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量 $\text{[math]}$ ，可以证明，对给定的 $\text{[math]}$ 是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：

通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩 $\text{[math]}$ 基本服从正态分布 $\text{[math]}$ .若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在 $\text{[math]}$ 的考生人数大约为（）

A . 341 B . 477 C . 498 D . 683

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7. (2024高二下·东莞期末) 已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

8. (2024高三上·岳阳期中) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2024高三上·宝安月考) 已知变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 变大时，则（）

A . $\text{[math]}$ 变小 B . $\text{[math]}$ 变大 C . 正态分布曲线的最高点下移 D . 正态分布曲线的最高点上移

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10. (2024高三上·硚口开学考) 下列论述正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 两组成对数据的样本相关系数分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 组数据比 $\text{[math]}$ 组数据的相关性较强 B . 数据 $\text{[math]}$ 的第60百分位数为38 C . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为1，则数据 $\text{[math]}$ 的方差为4

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11. (2024高二下·玉林期末) 已知随机变是 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，定义函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 取值不超过 $\text{[math]}$ 的概率，即 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数 D . $\text{[math]}$

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三、填空题

12. (2024高三上·湛江期中) 已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2024高二下·自贡月考) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高二下·长寿期末) 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为．

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15. (2024高二下·江阳期末) 若随机变量 $\text{[math]}$ 的数学期望和方差分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则对于任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 成立 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分 $\text{[math]}$ 分，某校高三共有 $\text{[math]}$ 名学生参加考试，全体学生的成绩 $\text{[math]}$ ，则根据上述不等式，可估计分数不低于 $\text{[math]}$ 分的学生不超过人 $\text{[math]}$

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四、解答题

16. (2024高二下·船山月考) 某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的 $\text{[math]}$ ，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．
1. （1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；
2. （2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为 $\text{[math]}$ ，标准差记为 $\text{[math]}$ ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？
  附：若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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17. (2024高三上·路南开学考) 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
1. （1）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
2. （2）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和均值.
  附：若随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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18. (2024高二下·联合期末) 在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间 $\text{[math]}$ 内，将样本数据按 $\text{[math]}$ 的分组作出频率分布直方图如图所示.
参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
2. （2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值 $\text{[math]}$ .假设所有参与者得分 $\text{[math]}$ ，试估计得分在 $\text{[math]}$ 上的人数.
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19. (2024高二下·新会期末) 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节 $\text{[math]}$ 某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答 $\text{[math]}$ 个问题，第一题考查对公司的了解，答对得 $\text{[math]}$ 分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得 $\text{[math]}$ 分，答错不得分．
附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若一共有 $\text{[math]}$ 人应聘，他们的笔试得分 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ 为达标，求进入面试环节的人数大约为多少 $\text{[math]}$ 结果四舍五入保留整数 $\text{[math]}$ ；
2. （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，后两题答对的概率均为 $\text{[math]}$ ，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
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