2025高考一轮复习（人教A版）第十六讲三角函数的应用

更新时间：2024-10-24 浏览次数：12 类型：一轮复习

一、选择题

1. (2024高一下·湖北期末) 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点. $\text{[math]}$ 的长等于边 $\text{[math]}$ 上的高，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·武昌期末) 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要 $\text{[math]}$ .已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度 $\text{[math]}$ 关于时间 $\text{[math]}$ （min）的函数关系式为 $\text{[math]}$ 若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·内江模拟) 位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $\text{[math]}$ 的长）为14米，则表高（即 $\text{[math]}$ 的长）约为（）（其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 9.27米 B . 9.33米 C . 9.45米 D . 9.51米

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4. (2022高三上·江西月考) “寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别为标杆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在地面的影长，再按影长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记 $\text{[math]}$ ，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（）

A . $\text{[math]}$ 里 B . $\text{[math]}$ 里 C . $\text{[math]}$ 里 D . $\text{[math]}$ 里

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5. (2022高一下·喀什期中) 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，则岳阳楼的高度CD为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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6. (2022·贵州模拟) 2022年春节期间，G市某天从8~16时的温度变化曲线（如图）近似满足函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图像．下列说法正确的是（）

A . 8～13时这段时间温度逐渐升高 B . 8～16时最大温差不超过5℃ C . 8～16时0℃以下的时长恰为3小时 D . 16时温度为−2℃

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7. (2022·重庆市模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其图象与直线 $\text{[math]}$ 相邻两个交点的距离为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·四川期中) 筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 $\text{[math]}$ 的筒车按逆时针方向做 $\text{[math]}$ 一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为 $\text{[math]}$ ，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位： $\text{[math]}$ ），则下列说法正确的是( )
① $\text{[math]}$ 时，盛水筒P到水面的距离为 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 时，盛水筒P到水面的距离相等；
③经过 $\text{[math]}$ ，盛水筒P共8次经过筒车最高点；
④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q ，则P ， Q到水面的距离差的最大值为 $\text{[math]}$ ．

A . ①② B . ②③ C . ①③④ D . ①②④

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二、多项选择题

9. 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数 $\text{[math]}$ 的图像，而破碎的涌潮的图像近似 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的导函数）的图像．已知当 $\text{[math]}$ 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是偶函数 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调

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10. (2024高一下·湖北期中) 如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心 $\text{[math]}$ 点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点 $\text{[math]}$ 的起始位置在最高点处，下列结论正确的是( )

A . 经过12分钟，点 $\text{[math]}$ 首次到达最低点 B . 第16分钟和第32分钟点 $\text{[math]}$ 距离地面一样高 C . 从第28分钟至第40分钟点 $\text{[math]}$ 距离地面的高度一直在降低 D . 摩天轮在旋转一周的过程中，点 $\text{[math]}$ 有8分钟距离地面的高度不低于80米

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11. (2024·珠海模拟) 在新农村建设中，某村准备将如图所示的 $\text{[math]}$ 内区域规划为村民休闲中心，其中 $\text{[math]}$ 区域设计为人工湖（点D在 $\text{[math]}$ 的内部）， $\text{[math]}$ 区域则设计为公园，种植各类花草.现打算在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别选一处E ， F ，修建一条贯穿两区域的直路 $\text{[math]}$ ，供汽车通过，设 $\text{[math]}$ 与直路 $\text{[math]}$ 的交点为P ，现已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 段的修路成本分别为100万元/百米，50万元/百米，设 $\text{[math]}$ ，修路总费用为关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，（单位万元），则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ C . 修路总费用最少要400万元 D . 当修路总费用最少时， $\text{[math]}$ 长为400米

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三、填空题

12. (2024高二下·舟山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恰有两个零点，则实数m的取值范围为.

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13. (2024高一下·南海月考) 如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心 $\text{[math]}$ 距离地面 $\text{[math]}$ 米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮并开始计时，当你第4次距离地面 $\text{[math]}$ 米时所用时间为分钟.

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14. (2024高一上·西湖期末) 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的切始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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四、解答题

15. (2024高三上·汨罗期中) 一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $\text{[math]}$ ）开始计算时间．
1. （1）以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
2. （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
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16. (2024高一下·东坡期末) 如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区 $\text{[math]}$ 如矩形 $\text{[math]}$ 所示 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为生活区入口 $\text{[math]}$ 已知有三条路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，路 $\text{[math]}$ 上有一个观赏塘 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，路 $\text{[math]}$ 上有一个风雨走廊的入口 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 现要修建两条路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，修建 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 费用成本分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求张角 $\text{[math]}$ 的正切值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求当 $\text{[math]}$ 取多少时，修建 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的总费用最少，并求出此时总费用．
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17. (2024高一下·青岛期中) 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 $\text{[math]}$ ，转盘直径为 $\text{[math]}$ ，设置有 $\text{[math]}$ 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 $\text{[math]}$ ．
1. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $\text{[math]}$ 后距离地面的高度为 $\text{[math]}$ ，求在转动一周的过程中， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 $\text{[math]}$ ）．（参考数据： $\text{[math]}$ ）
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18. (2024高一下·南海月考) 在校园美化、改造活动中，要在半径为 $\text{[math]}$ 、圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形空地 $\text{[math]}$ 的内部修建一矩形观赛场地 $\text{[math]}$ ，如图所示．取 $\text{[math]}$ 的中点M ，记 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出矩形 $\text{[math]}$ 的面积S与角 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
2. （2）求当角 $\text{[math]}$ 为何值时，矩形 $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出最大面积．
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19. (2024高一上·宁波期末) 已知一个半径为 $\text{[math]}$ 米的水轮如图所示，水轮圆心 $\text{[math]}$ 距离水面 $\text{[math]}$ 米，且按顺时针方向匀速转动，每 $\text{[math]}$ 秒转动一圈.如果以水轮上点 $\text{[math]}$ 从水面浮现时（图中点 $\text{[math]}$ 位置）开始计时，记点 $\text{[math]}$ 距离水面的高度 $\text{[math]}$ 关于时间 $\text{[math]}$ 的函数解析式为 $\text{[math]}$ .
1. （1）在水轮转动的一周内，求点 $\text{[math]}$ 距离水面高度 $\text{[math]}$ 关于时间 $\text{[math]}$ 的函数解析式；
2. （2）在水轮转动的一周内，求点 $\text{[math]}$ 在水面下方的时间段.
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