高中数学人教新课标A版选修2-1 2.4抛物线

更新时间：2020-08-26 浏览次数：225 类型：同步测试

一、单选题

1. (2020高二下·北京期末) 焦点在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2020·九江模拟) 抛物线y＝ax²上一点 $\text{[math]}$ 到其准线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高二上·武冈期中) 已知A为抛物线C:y²=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A . 2 B . 3 C . 6 D . 9

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4. (2020·潍坊模拟) 以抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2020·新课标Ⅲ·文) 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A . （ $\text{[math]}$ ，0） B . （ $\text{[math]}$ ，0） C . （1，0） D . （2，0）

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6. (2020高二上·上海月考) 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 $\text{[math]}$ 于Q，则线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线（）．

A . 经过点O B . 经过点P C . 平行于直线 $\text{[math]}$ D . 垂直于直线 $\text{[math]}$

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7. (2019高二下·上海期末) 设复数 $\text{[math]}$ 是实系数方程 $\text{[math]}$ 的根，又 $\text{[math]}$ 为实数，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（）

A . 圆 B . 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线

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8. (2020·沈阳模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的准线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ，P为该抛物线上一点， $\text{[math]}$ 于点Q，点F为该抛物线的焦点.若 $\text{[math]}$ 是等边三角形，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 2

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9. (2020·安徽模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方）， $\text{[math]}$ 两点在抛物线的准线上的投影分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 3 D . 4.

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10. (2020·宜春模拟) 已知抛物线C方程为 $\text{[math]}$ ，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2020·茂名模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 及抛物线方程为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，则使得 $\text{[math]}$ 为直角三角形的点 $\text{[math]}$ 个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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12. (2019高三上·梅州月考) 已知过抛物线 $\text{[math]}$ 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， $\text{[math]}$ ，抛物线的准线l与x轴交于点C， $\text{[math]}$ 于点M，则四边形AMCF的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

13. (2020·淄博模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可以是（）

A . 2 B . 6 C . 4 D . 8

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14. (2020·德州模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点 $\text{[math]}$ 下列结论正确的是（）

A . |PM| +|PF|的最小值为3 B . 抛物线C上的动点到点 $\text{[math]}$ 的距离最小值为3 C . 存在直线l，使得A，B两点关于 $\text{[math]}$ 对称 D . 若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2

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三、填空题

15. (2023·河南模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离等于.

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16. (2020·龙岩模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作y轴的垂线PQ，垂足为Q，若四边形OFPQ的周长为7，则点P的坐标为.

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17. (2021·重庆模拟) 已知抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点为F，点M(x₀ ， 2 $\text{[math]}$ )( $\text{[math]}$ )是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝ $\text{[math]}$ 交于E，G两点，若sin∠MFG＝ $\text{[math]}$ ，则抛物线C的方程是.

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18. (2020·奉贤模拟) 在平面直角坐标系内有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为抛物线的焦点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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四、解答题

19. 求满足下列条件的抛物线的标准方程．
1. （1）过点 $\text{[math]}$ ；
2. （2）焦点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上．
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20. (2019高二上·北京月考) 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ Ⅰ $\text{[math]}$ 求抛物线C的标准方程；

$\text{[math]}$ Ⅱ $\text{[math]}$ 经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．

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21. (2020高二下·浙江期末) 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P(4，m)到焦点F的距离为5．
1. （1）求抛物线C的标准方程；
2. （2）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线 $\text{[math]}$ 上存在两点G， H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最小值时点M的坐标．
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22. (2020高二下·湖州期末) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，点C是抛物线上一点，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）若点A坐标是 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 中点M的坐标；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的最小值及此时直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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23. (2020·芜湖模拟) 在平面直角坐标系xOy中，过点 $\text{[math]}$ 的直线l与抛物线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与抛物线C的准线始终相切.
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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24. (2020高二下·衢州期末) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线C的标准方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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