全国甲卷地区高考数学专项训练—

1. (2021·贵阳模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 有三个极值点 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围，并证明： $\text{[math]}$ .

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2. (2021·贵州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）设函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
（2）判断函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象是否存在公切线，若存在，这样的切线有几条，为什么？若不存在，请说明理由.

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3. (2022·廊坊模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数.

（1）求 $\text{[math]}$ 的极值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ .

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4. (2022·绵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为 $\text{[math]}$ .

（1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 在定义域上无极值，求正整数 $\text{[math]}$ 的最大值.

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5. (2021·南充模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（1）试讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）求证： $\text{[math]}$ .

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6. (2021高三上·南溪月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间及单调性；
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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7. (2021高三上·郫都月考) 已知函数 $\text{[math]}$

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 取值的集合；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，对任意 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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8. (2021·南充模拟) 已知函数 $\text{[math]}$

（Ⅰ）若曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相切，求 $\text{[math]}$ 的值.

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）

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9. (2021·遂宁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）求证：当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 有且仅有2个实数根.

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10. (2021·四川模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴有且只有一个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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11. (2021·广元模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点个数．

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12. (2021·雅安模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若方程 $\text{[math]}$ 存在两个不等的实根，求a的取值范围.
（2）设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的两个零点，证明： $\text{[math]}$ .

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13. (2021高三下·四川月考) 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点的个数；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 恒成立，证明： $\text{[math]}$ ．

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14. (2021高三上·五华月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ 恰有三个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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15. (2021高三上·五华月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
（2）若 $\text{[math]}$ 有且仅有一个零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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16. (2021高三上·水富月考) 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，试判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）若 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立. $\text{[math]}$ 有且只有一个实数解，证明： $\text{[math]}$ .

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17. (2021·昆明模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
（2）证明∶对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ .

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18. (2021·昆明模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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19. (2021·云南模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处切线的斜率为1，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
（2）若不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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20. (2021·云南模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）设曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且两曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．