高中数学人教A版（2019）选择性必修三第七章随机变量及...

更新时间：2022-05-08 浏览次数：108 类型：同步测试

一、单选题

1. (2022高二下·龙岗期中) 一个篮球远动员投蓝一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、 $\text{[math]}$ ），已知他投篮一次得分的均值为1，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高二下·盐田月考) 家住福田、罗湖、盐田、南山的四位志愿者被随机派到福田区、罗湖区、盐田区、南山区这四个区参与抗疫工作，每人只去一个区域，每个人去的区域均不相同，记 $\text{[math]}$ 为4人中没有去到自家所在区去做志愿者的人数，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 3

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3. (2022高二下·盐田月考) 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·内江模拟) 2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（●）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现象观察（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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5. (2022·宝鸡模拟) 已知随机变量X，Y满足 $\text{[math]}$ ， Y的期望 $\text{[math]}$ ， X的分布列为：
X
-1
0
1
P
$\text{[math]}$
a
b
则a，b的值分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021高三上·浙江期末) 已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021高三上·河北月考) 小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是 $\text{[math]}$ ，答对第3题的概率是 $\text{[math]}$ ，则小明答完这3道题的得分期望为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021高三上·嘉兴月考) 已知袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球.现从中任取2个球，记取到的红球的个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2021高二下·长春期末) 随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下表，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

X

1

2

3

P

0.2

0.4

0.4

A . 4.4 B . 7.4 C . 21.2 D . 22.2

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10. (2021高二下·济南期末) 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是素数．素数对 $\text{[math]}$ 称为孪生素数对．从8个数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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二、多选题

11. (2022高二下·盐田月考) 设离散型随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下表：

$\text{[math]}$

1

2

3

4

5

$\text{[math]}$

m

0.1

0.3

n

0.3

若离散型随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021高二下·东莞期末) 将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用 $\text{[math]}$ 表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022·绍兴模拟) 在抗击疫情期间，某区对3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，设3位医生中相邻人数为 $\text{[math]}$ （若互不相邻，则 $\text{[math]}$ ；有且仅有2人相邻，则 $\text{[math]}$ ；3人连在一起，则 $\text{[math]}$ ），2位护士中相邻人数为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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14. (2022·杭州模拟) 在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的数学期望为；设A为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A发生的概率为.

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15. (2022·衢州模拟) 袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次.设拿出的白球个数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =.

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16. (2022·浙江模拟) 袋中有大小完全相同的3个黑球和2个白球.每次从中任取1个球，取后不放回，直到白球全部取完即停止，此时取到黑球的个数为 $\text{[math]}$ ，则取球三次即停止的概率为， $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. (2022·运城模拟) 某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表
成绩等级
优
良
合格
不合格
频数
7
11
41
1
1. （1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．
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18. (2022高二下·温州期中) 某心理师研究所对某城区的60位中小学生睡眠情况进行统计，统计情况如表所示．

	小学生	初中生	高中生	合计
睡眠不足	46	18	8	72
睡眠充足	4	2	2	8
合计	50	20	10	80

（1）若从80位调查对象中随机轴取一人，该同学的睡眠不足，则该同学是初中生的概率．
（2）按学段分层抽样方式从这80位学生中抽取8位学生，再从抽取的8位学生中随机抽取3位，求事件A“有初中生”的概率．
（3）若以上表格计算出的频率近似概率，从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X，求X的分布列以及期望．

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19. (2022高二下·福州期中) 为响应“双减政策”，丰富学生课余生活，某校举办趣味知识竞答活动，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明，小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为 $\text{[math]}$ ，小红答对的概率为 $\text{[math]}$ ，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量X．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求x的分布列和数学期望；
2. （2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于 $\text{[math]}$ ，求p的最小值．
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20. (2022高二下·临沂期中) 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．
附参考公式及数据： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0.05
0.01
$\text{[math]}$
3.841
6.635
1. （1）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的2×2列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
  
  选择“物理”
  选择“政治”
  总计
  男生
  10
  女生
  30
  总计
2. （2）在（1）的条件下，从选择“政治”的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，设这2人中男生的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．
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21. (2022·联合模拟) 在检测中为减少检测次数，我们常采取“ $\text{[math]}$ 合1检测法”，即将 $\text{[math]}$ 个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有 $\text{[math]}$ 人，已知其中有2人感染病毒.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
2. （2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为 $\text{[math]}$ ，采取“20合1检测法”的总检测次数为 $\text{[math]}$ ，若仅考虑总检测次数的期望值，当 $\text{[math]}$ 为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.
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22. (2022高二下·湖州期中) 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金1000元，2000元，3000元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该嘉宾获得公益基金1000元的概率；
2. （2）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
3. （3）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
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23. (2023高二下·宁波期中) 新高考按照“ $\text{[math]}$ ”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．
1. （1）求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．
2. （2）已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望．
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24. (2022高二下·玉环月考) “坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜．
1. （1）求甲获胜的概率；
2. （2）求甲得分的分布列及数学期望．
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