2023年中考数学探究性试题复习17 轴对称-在线组卷

1. (2023·长春模拟) 如图

（1）【感知】如图①，将 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 边上的点F处，得到折痕 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的周长为．
（2）【探究】如图②，将四边形 $\text{[math]}$ 沿GE折叠，点A、D的对应点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上．
求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形．
（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

2. (2023·龙岗模拟) 综合与探究

在矩形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上取一点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处．

（1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图②，当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）如图③，延长 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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3. (2023九下·秦淮月考) 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用这两个直角三角形研究图形的变换.

（1）【翻折】如图1，将 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 翻折，连接 $\text{[math]}$ ，下列对所得四边形 $\text{[math]}$ 的说法正确的是.
① $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 互相平分，③ $\text{[math]}$ ， ④ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共圆.
（2）【平移】
如图2，将 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 向右平移，使 $\text{[math]}$ 点移到 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，请猜想四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由.
（3）【旋转】如图3，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则旋转角为°， $\text{[math]}$ cm.

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4. (2023九下·东台月考) 如图

（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为.

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5. (2023·惠水模拟) 如图，平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对称轴作 $\text{[math]}$ 的轴对称图形 $\text{[math]}$ .

（1）动手操作
当点 $\text{[math]}$ 正好落在 $\text{[math]}$ 边上时，在图①中画出 $\text{[math]}$ 的轴对称图形 $\text{[math]}$ ，并判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状是 ▲ ；
（2）问题解决
如图②，当点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 中点，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）拓展探究
如图③，当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一直线上，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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6. (2023八下·晋安期中) 在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角，可以采用如下的方法：

【操作感知】

第一步：对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展开.

第二步；再一次折叠纸片，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，并使折痕经过点 $\text{[math]}$ ，得到折痕 $\text{[math]}$ ，同时得到线段 $\text{[math]}$ （如图1）.

（1）【猜想论证】
写出图1中一个 $\text{[math]}$ 的角：.
（2）若延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ 所示，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并证明.
（3）【迁移探究】
小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 $\text{[math]}$ 按照 $\text{[math]}$ 操作感知 $\text{[math]}$ 的方式操作，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ，求正方形的边长.

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7. (2023·凤翔模拟)

（1）问题提出
如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若P是边 $\text{[math]}$ 上一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.
（2）问题探究
如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，斜边 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 的中点，P是边 $\text{[math]}$ 上一点，试求 $\text{[math]}$ 的最小值.
（3）问题解决
某城区有一个五边形 $\text{[math]}$ 空地（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），城建部门计划利用该空地建造一个居民户外活动广场，其中 $\text{[math]}$ 的部分规划为观赏区，用于种植各类鲜花， $\text{[math]}$ 部分规划为音乐区，供老年合唱团排练合唱或广场舞使用，四边形 $\text{[math]}$ 部分为市民健身广场，如图③所示.已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别取点E，F，铺设一条由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 连接而成的步行景观道，已知铺设景观道的成本为100元/米，求铺设完这条步行景观道所需的最低成本.

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8. (2023·绿园模拟) 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

操作：

操作一：对折正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展平；

操作二：在 $\text{[math]}$ 上选一点P，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）探究：
①如图①，当点M在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．
②改变点P在 $\text{[math]}$ 上的位置（点P不与点A、D重合），如图②，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．
（2）拓展：若正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为8，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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9. (2023七下·徐州月考) 将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处.

【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ▲ ；

【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由.

【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为 ▲ .

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10. (2023·沁阳模拟) 问题情境：

数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝8 $\text{[math]}$ .

动手实践：

（1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为BE，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ ，则折痕BE的长为.
（2）如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC.再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E.请写出OC与OA的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，探究小组将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF折叠得到△MBF，点P、Q分别是边 $\text{[math]}$ 上的动点（均不与顶点重合），将 $\text{[math]}$ 沿PQ折叠使 $\text{[math]}$ 的对应点N恰好落在BM上，当 $\text{[math]}$ 的一个内角与 $\text{[math]}$ 相等时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

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11. (2023九下·义乌月考) 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 $\text{[math]}$ ，对于任意一个函数，作该函数自变量大于 $\text{[math]}$ 的部分关于直线 $\text{[math]}$ 的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于 $\text{[math]}$ 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线 $\text{[math]}$ 的“镜面函数”.例如：图① 是函数 $\text{[math]}$ 的图象，则它关于直线 $\text{[math]}$ 的“镜面函数”的图象如图② 所示，且它的“镜面函数”的解析式为 $\text{[math]}$ ，也可以写成 $\text{[math]}$ .

（1）在图③ 中画出函数 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“镜面函数”的图象.
（2）函数 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“镜面函数”与直线 $\text{[math]}$ 有三个公共点，求 $\text{[math]}$ 的值.
（3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“镜面函数”图象与矩形 $\text{[math]}$ 的边恰好有4个交点，求n的取值范围.

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12. (2022·西城模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于线段AB与直线 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为点A，B的对应点)，则称线段 $\text{[math]}$ 为线段AB的“ $\text{[math]}$ 关联线段”．

已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）线段 $\text{[math]}$ 为线段AB的“ $\text{[math]}$ 关联线段”，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为，b的值为；
（2）线段 $\text{[math]}$ 为线段AB的“ $\text{[math]}$ 关联线段”，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（3）点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 为线段AB的“ $\text{[math]}$ 关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段 $\text{[math]}$ 与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．

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13. (2023九上·余姚期末) 如图

（1） [基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC²=AD·AB．
（2） [尝试应用] 如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．
（3） [拓展提高] 如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．

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14. (2023·博山模拟) 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为锐角， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，得到四边形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ .

（1）【观察发现】 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是；
（2）【思考表达】连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请探究 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由.