2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.4 ...

更新时间：2023-08-08 浏览次数：117 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023高二下·响水) 已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方向向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二下·成都期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则平面ABC的一个法向量可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二下·响水) 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑” $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高二下·成都期中) 若直线l的方向向量与平面 $\text{[math]}$ 的法向量的夹角等于 $\text{[math]}$ ，则直线l与平面 $\text{[math]}$ 所成的角等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·上虞模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ .连 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折成三棱锥 $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球表面积的最小值时，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·遂宁模拟) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，线段 $\text{[math]}$ 上有两个动点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），且 $\text{[math]}$ ．下列说法不正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 运动时，三棱锥体积 $\text{[math]}$ 不变 C . 当 $\text{[math]}$ 运动时，存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 为定值

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7. (2023·静安模拟) 若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量为 $\text{[math]}$ ，则能使 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·商洛模拟) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023·河南模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，正四面体 $\text{[math]}$ （所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，当 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离最大时，该正四面体在平面 $\text{[math]}$ 上的射影面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高二上·石景山期末) 已知 $\text{[math]}$ 是直线l的方向向量， $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量．若 $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·河南模拟) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，有下列四个结论：
① $\text{[math]}$ ；
②点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；
③二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ；
④若四面体 $\text{[math]}$ 的所有顶点均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，则球 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .
其中所有正确结论的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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12. (2023高一下·温州期末) 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是该长方体外接球上一点，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间距离的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

13. (2023高二上·南山期末) 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量

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14. (2023·邵阳模拟) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为钝角 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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15. (2023高三上·泉州期末) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是定值 D . 当点 $\text{[math]}$ 落在以 $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 为半径的球面上时， $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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16. (2023·广州模拟) 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ 分别为正四面体棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为面 $\text{[math]}$ 内任意一点，则下列结论正确的是（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 截正四面体 $\text{[math]}$ 的外接球所得截面的面积为 $\text{[math]}$ B . 若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$ C . 过点 $\text{[math]}$ 作平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

17. (2023高二下·成都期中) 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，E为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则点C到平面 $\text{[math]}$ 的距离等于.

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18. (2023高二下·富民期中) 已知向量 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量，向量 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量，若直线 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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19. (2023·漳州模拟) 已知长方体 $\text{[math]}$ 的底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，若 $\text{[math]}$ ，则该长方体的外接球的表面积为；记 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 方向上的单位向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （m，n为常数）的最小值为．

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20. (2023高二上·永嘉期末) 在空间直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

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21. (2022高二上·云南期中) 若空间中有三点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为；点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

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22. (2023高二下·成都期中) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，若空间中的动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的是．（请用正确命题的序号作答）
①若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ；
③若 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ；
④若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹构成的平面图形的面积为 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

23. (2023高二下·定远期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
3. （3）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角．
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24. (2023高一下·温州期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的动点，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当线段 $\text{[math]}$ 的长度最小时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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25. (2023高一下·温州期末) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 是圆柱 $\text{[math]}$ 的轴截面， $\text{[math]}$ 是圆柱的母线，圆柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求圆柱 $\text{[math]}$ 的表面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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26. (2023高二下·杭州期末) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，所有棱长均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正弦值．
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27. (2023高二下·简阳月考) 如图所示多面体ABCDEF中，平面 $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ 是正三角形，四边形ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面ABCD；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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28. (2023高二下·金华期末) 如图四棱锥 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在底面的射影为圆心 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不平行，四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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