中考数学第一轮复习：无理数与实数

更新时间：2023-09-05 浏览次数：47 类型：一轮复习

一、选择题

1. (2024七下·岑溪期中) 下列实数属于无理数的是（）

A . 3.14 B . $\text{[math]}$ C . 2.121121112 D . $\text{[math]}$

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2. (2023七下·安达期末) 在-1，π， $\text{[math]}$ ， 0.1010010001…中，无理数的个数是（　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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3. (2023七下·绥中期末) 已知(4-a)²与 $\text{[math]}$ 互为相反数，则a-b的平方根是（）、

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . ± $\text{[math]}$ D . ± $\text{[math]}$

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4. (2023·安达期末) 16的算术平方根为（）

A . ±4 B . ±8 C . 4 D . -4

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5. (2024九下·利津模拟) 用计算器计算，按键顺序是2，xy，3，＝，显示的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . 8 D . 9

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6. (2024七下·凉州期中) 对于 $\text{[math]}$ ，下列说法错误的是（）

A . 是有理数 B . 是无理数 C . 是实数 D . 是无限小数

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7. (2023七下·潮南期末) 已知边长为a的正方形面积为10，则下列关于a的说法：①a是10的算术平方根；②a是方程 $\text{[math]}$ 的一个解；③a介于3和4之间，其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 0个

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8. (2023八下·朝天期末) 如图，在数轴上，以 $\text{[math]}$ 所在点 $\text{[math]}$ 为圆心 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 对应的实数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023七下·镇安县期末) 在0， $\text{[math]}$ ， 1， $\text{[math]}$ 四个数中，最大的数是（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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10. (2023七下·绥中期末) 下列说法正确的是（），

A . |-2|=-2 B . 0的倒数是0 C . 4的平方根是2 D . - $\text{[math]}$ 的相反数是 $\text{[math]}$

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11. (2024九下·哈尔滨月考) 实数10的相反数等于（）

A . -10 B . +10 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023七下·徐汇期末) 下列实数中，无理数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. (2024七下·易县期末) 下列说法错误的是（　　）

A . 2的平方根是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的立方根是 $\text{[math]}$ C . 10是100的一个平方根 D . 算术平方根是本身的数只有0和1

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14. (2024七下·长寿月考) 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 $\text{[math]}$ ，即当n为非负整数时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．反之，当n为非负整数时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．给出下列说法：
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③当 $\text{[math]}$ ， m为非负整数时，有 $\text{[math]}$ ；
④若 $\text{[math]}$ ，则非负实数x的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
⑤满足 $\text{[math]}$ 的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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15. (2023七下·沙坪坝期末) 我们用 $\text{[math]}$ 表示最接近 $\text{[math]}$ 的整数，其中n为非负整数．例如：∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ．则下列结论：
① $\text{[math]}$ ；
③当 $\text{[math]}$ 时，n的值有6个；
③ $\text{[math]}$ ；
④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
其中正确的个数是（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

16. (2023·安达期末) 若 $\text{[math]}$ 有平方根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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17. (2023七下·绥中期末) $\text{[math]}$ 的立方根是；2- $\text{[math]}$ 的绝对值是

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18. (2024七下·凉州期中) 已知 $\text{[math]}$ 的算术平方根是2， $\text{[math]}$ 的立方根是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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19. (2023七下·闵行期末) 利用计算器计算： $\text{[math]}$ （保留两个有效数字）．

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20. (2023七下·濮阳期末) 如果x⁴=a，那么x叫做a的四次方根.16的四次方根是.

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21. (2023八上·宛城月考) 比较大小： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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22. (2023七下·长丰期末) $\text{[math]}$ 的绝对值是．

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23. (2024九下·方城模拟) 计算： $\text{[math]}$ ．

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24. (2024七下·庆云月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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25. (2024七下·汝南月考) 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的十位数字等于百位和个位数字的差的绝对值，则称N是“差等中项数”，例如：三位数413，∵ $\text{[math]}$ ， ∴413是“差等中项数”．把一个差等中项数N的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为 $\text{[math]}$ ，把N的百位数字的3倍，十位数字的2倍和个位数字之和记为 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．已知三位数A是“差等中项数”， $\text{[math]}$ 是整数，则满足条件的所有A的个数是．

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三、计算题

26. (2023八下·明水月考) 计算题
1. （1） $\text{[math]}$
2. （2） $\text{[math]}$
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27. (2024七下·松江期中) 用幂的运算性质计算： $\text{[math]}$

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28. (2023七下·安达期末) 计算题
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） |1- $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ -2|
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29. (2024七下·丹江口期末) 计算
$\text{[math]}$

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30. (2023七下·西安期末) 计算： $\text{[math]}$ ．

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四、实践探究题

31. (2023八下·乾安期末) 先阅读理解，再回答问题：
①∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为1．
②∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为2．
③∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为3．
⋯⋯
1. （1）填空： $\text{[math]}$ 的整数部分是；
2. （2） a，b分别是 $\text{[math]}$ 的整数部分和小数部分；
  ①分别写出a、b的值；
  ②求 $\text{[math]}$ 的值．
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32. (2022七上·福田期中) 阅读材料：求1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰的值.
解：设S=1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰
将等式两边同时乘以2得
2S=2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹
因此2S-S=（2+2²+2³+2⁴……+2¹⁰¹） - （1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰） =2¹⁰¹-1
所以S=2¹⁰¹-1
即1+2+2²+2³+……+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
请你仿照此法计算：
1. （1） 1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=
2. （2）求1+3+3²+……+3¹⁰¹的值.
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33. (2021八上·运城期中) 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
1. （1） $\text{[math]}$ 的有理化因式可以是， $\text{[math]}$ 分母有理化得．
2. （2）计算：
  ①当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
  
  ② $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 为整数）．
3. （3）根据你的推断，比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小．
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五、综合题

34. (2023七下·五华期末) 两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数，共轭根式，共轭双曲线，共轭矩阵等．共轭实数的定义：把形如 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （a、b为有理数且 $\text{[math]}$ ， m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
在学习了第六章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：
1. （1）根据共轭实数的定义我们可以判定： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不是共轭实数， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共轭实数，请分别说明理由
2. （2）请你设计并写出一对共轭实数与；
3. （3）小明发现共轭实数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差。
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35. (2023七下·海淀期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于不重合的两点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，如果当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 互为“进取点”．特别地，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 也互为“进取点”．已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，下列各点： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中所有与点 $\text{[math]}$ 互为“进取点”的是；
2. （2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的所有整点中（如图2）：
  ①已知点 $\text{[math]}$ 为第一象限中的整点，且与点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 均互为“进取点”，求所有符合题意的点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②在所有的整点中取 $\text{[math]}$ 个点，若这 $\text{[math]}$ 个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的最大值．
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36. (2023七下·太和期末) 大家知道 $\text{[math]}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\text{[math]}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\text{[math]}$ 来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

又例如：∵ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ ．

请解答：
1. （1） $\text{[math]}$ 的整数部分是，小数部分是．
2. （2）如果 $\text{[math]}$ 的小数部分为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的整数部分为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是整数，且 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的相反数．
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