如图2,创新小组的同学把直线a向上平移,并把的位置改变,发现 , 请说明理由;
缜密小组在创新小组发现结论的基础上,将图2中的图形继续变化得到图3,AC平分 , 此时发现与又存在新的数量关系,请直接写出与的数量关系.
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线,还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线.那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢?
①如图1,在纸上画出一条直线 , 在外取一点 . 过点折叠纸片,使得点的对应点落在直线上(如图2),记折痕与的交点为 , 将纸片展开铺平.则 ▲ ;
②再过点将纸片进行折叠,使得点的对应点落在直线上(如图3),再将纸片展开铺平(如图4).此时王玲说,就是的平行线.王玲的说法正确吗?请写出过程予以证明;
阅读理解:
如图1,已知点A是BC外一点,连接AB、AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数.
解:过点A作DEBC.
∵DEBC,
∴∠B=∠EAB,∠C=∠DAC.
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°.
如图2,已知ABDE,试说明:∠D+∠BCD-∠B=180°.(提示:过点C作CFAB)
如图3,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1=度.
①如图4,若ABDE,∠B、∠C、∠D有怎样的关系:;
②如图5,若ABDE,∠B、∠C、∠D有怎样的关系:.
平衡多项式 | |
素材一: | 定义:对于一组多项式: , , ( , , 都是非零常数),当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时,称这样的三个多项式是一组平衡多项式,的值是这组平衡多项式的平衡因子. |
素材二: | 例如:对于多项式 , , , 因为= , 所以多项式 , , 是一组平衡多项式,其平衡因子为1. |
任务一: | 小明发现多项式 , , 是一组平衡多项式,在求其平衡因子时,列式如下: , 根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子. |
任务二: | 判断多项式 , , 是否为一组平衡多项式,若是,求出其平衡因子;若不是,说明理由. |
任务三: | 若多项式 , , (为非零常数)是一组平衡多项式,求的值. |
经过组内合作交流,小明得到了如下的解决方法:延长到点E , 使.请根据小明的方法思考:
如图2,已知 , , , P为的中点.若A , C , D共线,求证:平分;
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A , B长度(如图1),但是小亮找不足够长度的的绳子,小亮寻求哥哥的帮助.
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C , 连接并延长到D , 使;连接并延长到E , 使 , 连接并测量出它的长度(如图2),请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因;
【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡,无法采用上述的方法进行测量,哥哥提出仍然可以计算出长度(如图3),方法如下:
⑴在房屋M墙边找一点C , 使得;
⑵在院子里找一点E , 使得:此时发现;
⑶测量出B到房屋M墙的距离 , 即: , ;
⑷测量出A到的距离 , 即:AE⊥CE , , 同时发现;
经过以上的方法可以计算出的长度.
请根据哥哥的思路提示,帮助小亮完成计算出的长度:
解:如图4,延长至F , 使得 , 连接 .
……
如图5,海警船甲在指挥中心(A处)北偏西的B处,一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处,并且两艘船到指挥中心A的距离相等(),可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶,指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击,两船前进3小时后,指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D , E处,且两船和指挥中心形成的夹角为 , (),请直接写出此时甲、乙两船之间的距离 .
问题背景:
数学课上,同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动,已知长方形纸带的边 , , ,点 为线段AD上一动点 ,将纸片折叠,使点B和点 重合,产生折痕EF,点E是折痕与边AD的交点,点F是折痕与边BC的交点.
动手操作:
实践探究:
①小静发现图中无论点 如何移动, 始终成立,请说明理由;
②小东发现折叠后所形成的角,只要知道其中一个角的度数,就能求出其它任意一角的度数,若 ,求 的大小.
活动主题:探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源:提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务:运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形,且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究.
问题探究过程
请观察以上所有图形,并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系,你发现哪些结论?
例如:小明发现:甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍.
小张发现:丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积.
聪明的你,能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗?
你的发现是;请用简洁的语言描述
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为 , 其中 , 四种图形面积分别为 , , , .
例如:小明的结论是 .
小张的结论是 ,
你的结论是:;
请用所学的数学知识证明你的结论.
例如:小明的证明方法如下.
证: , ,
,
你的证明:;
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形,请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形,画出示意图,并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系.
你的示意图:;
你的关系式:.
根据以上的研究结论,请解决数学问题,若 , , 求的值.
你的解答:.
阅读并补全上述推理过程.
【解题反思】从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
如图2所示,已知交于点 , 在图2的情况下求的度数.
如图3所示,已知分别平分和 , 且BF、CG所在直线交于点 , 过作 , 若 , 在图3的情况下求的度数.
综合与实践课上,老师让同学们“借助两条平行线AB,CD和一副直角三角板”开展数学探究活动.即:已知直线和一副直角三角板.
如图1,小华把一个三角板角的顶点F、G分别放在直线AB、CD上,请直接写出与的数量关系.
如图2,小睿把一个三角板角的顶点F放在直线AB上,若 , 求的度数.
在图1的基础上,小明把三角板角的顶点,放在E处,即(如图3),与的平分线EP,EQ分别交AB,CD于点P,Q,将含角的三角板绕点E转动,使EG始终在的内部,请问:的值是否发生变化?若不变,求出它的值;若变化,请说明理由.
如图2,在△ABC中,点D是BC边上的中点中,点是BC边上的中点,若 , 则.
现在有一块四边形土地ABCD(如图4),能大和熊二都想问老熊要这块地,老熊让他们平分,可他们谁都没法平分,请你来帮帮忙.
要求:用不超过三条的线段画出平分方法,并对作法进行描述.可利用带刻度的直尺.