新定义型—广东省（北师版）九（上）数学期末复习

更新时间：2025-01-01 浏览次数：19 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024九上·阳山期末) 定义：如果一元二次方程 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知 $\text{[math]}$ 是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

2. (2024九上·乌鲁木齐月考) 对于实数 $\text{[math]}$ ，定义运算“※”： $\text{[math]}$ ※ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则 $\text{[math]}$ ※ $\text{[math]}$ =．

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3. (2024九上·深圳月考) 关于x的一元二次方程a₁（x﹣m）²+k＝0与a₂（x﹣m）²+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）²+4＝0与3（x﹣3）²+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）²+1＝0与（a+2）x²+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为．

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4. (2023九上·南山期中) 对于实数m ， n ，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n＝ $\text{[math]}$ ，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为．

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三、解答题

5. (2024九上·福田期中) 如果关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为"倍根方程".例如，一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 是"倍根方程".
1. （1）根据上述定义，一元二次方程 $\text{[math]}$ （填"是"或"不是"）"倍根方程"；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上，请说明关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是"倍根方程"；
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6. (2024八下·义乌月考) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
1. （1）以下方程为“直系一元二次方程”的是；（填序号）
  ①3x²+4 $\text{[math]}$ x+5＝0；②5x²+13 $\text{[math]}$ x+12＝0．
2. （2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 $\text{[math]}$ +2，求c的值．
3. （3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0必有实数根．
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7. (2024九上·深圳开学考) 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，E，F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是邻余四边形．
2. （2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是邻余线，E，F在格点上．
3. （3）如图3，在（1）的条件下，取 $\text{[math]}$ 中点M，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点Q，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N．若N为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求邻余线 $\text{[math]}$ 的长．
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8. (2024九上·深圳开学考) 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是邻余四边形．
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的方格纸中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是邻余线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在格点上．
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的条件下，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求邻余线 $\text{[math]}$ 的长．
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四、阅读理解题

9. (2024九上·光明月考) 新定义：已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根之和 $\text{[math]}$ 与两根之积， $\text{[math]}$ 分别是另一个一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 称为一元二次方程 $\text{[math]}$ 的“再生韦达方程”，一元二次方程 $\text{[math]}$ 称为“原生方程”．
比如：一元二次方程 $\text{[math]}$ 两根分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，所以它的“再生韦达方程”为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知一元二次方程 $\text{[math]}$ ，求它的“再生韦达方程”；
2. （2）已知“再生韦达方程” $\text{[math]}$ ，求它的“原生方程”．
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10. (2024九上·青山湖月考) 阅读下列材料：
方程 $\text{[math]}$ 两边同时除以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
根据以上材料解答下列问题：
1. （1）已知方程 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _____； $\text{[math]}$ _____．
2. （2）若m是方程 $\text{[math]}$ 的根，求 $\text{[math]}$ 的值．
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11. (2024九上·深圳开学考) 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根 $\text{[math]}$ 有如下的关系（韦达定理）： $\text{[math]}$ ；
材料2：如果实数m、n满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则可利用根的定义构造一元二次方程 $\text{[math]}$ ，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
1. （1） ①已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ②已知实数a ， b满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知实数m、n、t满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
3. （3）设实数a ， b分别满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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12. (2024九上·龙岗开学考) 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

等腰梯形

在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究．

定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图1，四边形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形：

从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质：

性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质 $\text{[math]}$

判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系

判定 $\text{[math]}$ ．

任务：

（1）为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图2，四边形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
证明：方法1：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
方法2：过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2） ①根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题：的梯形是等腰梯形．
②等腰梯形的判定方法的猜想是真命题，请说明理由．

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13. (2024九上·禅城期末) 阅读材料：有一边是另一边的 $\text{[math]}$ 倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角.
1. （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠C 为卓越角，BC为卓越边，则∠B的度数为；
2. （2）如图①，卓越△ABC中，∠A=45°，∠B 是卓越角，BC 为卓越边，若AB=2，求 AC的长；
3. （3）如图②，卓越△ABC 中，BC 为卓越边，∠B为卓越角，且A(3，0)，点B、C均在函数y= $\text{[math]}$ (x＞0)的图象上，点C在点B的上方，点B的纵坐标为 $\text{[math]}$ .当△ABC 是直角三角形时，求k的值.
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14. (2024九上·南山期中) 【阅读理解】
若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程” $\text{[math]}$ 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $\text{[math]}$ 一定为完全平方数 $\text{[math]}$ 现规定 $\text{[math]}$ 为该“快乐方程”的“快乐数” $\text{[math]}$ 例如“快乐方程” $\text{[math]}$ 的两根均为整数，其“快乐数” $\text{[math]}$ ，若有另一个“快乐方程” $\text{[math]}$ 的“快乐数” $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 互为“开心数”．
1. （1） “快乐方程” $\text{[math]}$ 的“快乐数”为；
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 为整数，且 $\text{[math]}$ 是“快乐方程”，求 $\text{[math]}$ 的值，并求该方程的“快乐数”；
3. （3）若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 均为整数 $\text{[math]}$ 都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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15. (2024九上·深圳月考) 阅读下列材料：如图（1），在四边形ABCD中，若AB＝AD ， BC＝CD ，则把这样的四边形称之为筝形．
1. （1）写出筝形的两个性质（定义除外）．
  ①；②．
2. （2）如图（2），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF ， ∠AEC＝∠AFC ．求证：四边形AECF是筝形．
3. （3）如图（3），在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积．
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五、实践探究题

16. (2024九上·罗湖期中) 【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 $\text{[math]}$ 要求线段. $\text{[math]}$ 的长度可以用如下的方法，如图，过 $\text{[math]}$ 作x轴的垂线，垂足为A，过. $\text{[math]}$ 作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 作y轴的垂线，垂足为C，过 $\text{[math]}$ 作y轴的垂线，垂足为D，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，则线段CD的长度可以表示 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 根据勾股定理可得：
$\text{[math]}$
1. （1）【解决问题】
  ①则线段AB 长度是；
  ②如果点N(-3，5)，点 $\text{[math]}$ 则线段MN长度是.
2. （2）【知识迁移】
  ①点. $\text{[math]}$ 请在x轴上找一点P，使得 $\text{[math]}$ 的值最大，请直接写出这个最大值是.
  ②点 $\text{[math]}$ 请在x轴上找一点P'，使得. $\text{[math]}$ 最小，请直接写出这个最小值是.
3. （3）【拓展延伸】
  ①代数式 $\text{[math]}$ 的最小值是.
  ②代数式 $\text{[math]}$ 的最大值是.
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17. (2024九上·深圳开学考) 【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为 $\text{[math]}$ ．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O，若点A，B的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点G是 $\text{[math]}$ 边上任意一点．
（1）当点G在边 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的最小值是__________，因此d[点O，线段 $\text{[math]}$ ] $\text{[math]}$ __________；
（2）当点G在任意边上时， $\text{[math]}$ 的最小值是__________，因此d[点O， $\text{[math]}$ ] $\text{[math]}$ __________；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点A，B的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上与点A，C，O不重合的一点，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当 $\text{[math]}$ [线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] $\text{[math]}$ 时，则n的取值范围为__________；
（4）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ __________（结果用含n的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．

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18. (2024九上·深圳) 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 之间的距离.
例如，如图1， $\text{[math]}$ ，线段AB的长度称为点， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 之间的距离，当 $\text{[math]}$ 时，线段AB的长度也是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离.
【应用】
1. （1）如图2，在等腰Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为AB边上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交AC于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则DE与BC之间的距离是
2. （2）如图3，已知直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 与点， $\text{[math]}$ 之间的距离是，点 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 之间的距离是；
3. （3）【拓展】按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为 $\text{[math]}$ ，小区外延所在双曲线 $\text{[math]}$ 的函数表达式为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
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19. (2024九上·福田期中) 如图
1. （1）【问题背景】已知D、E分别是 $\text{[math]}$ 的AB边和AC边上的点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕着 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，连接BD和CE.
  ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形
  ②若AB=8，AC=6，BD=4，则CE=
2. （2）【迁移应用】如图3，在Rt $\text{[math]}$ 和Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段BC上一动点，连接EC
  ①请求出 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由.
  ②如图4，点 $\text{[math]}$ 是DE的中点，在点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点运动到 $\text{[math]}$ 点的过程中，请直接写出点 $\text{[math]}$ 经过的路径长.
3. （3）【创新应用】如图5： $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕若点 $\text{[math]}$ 旋转，连接BE，F是BE上一点， $\text{[math]}$ ，连接CF，求CF的取值范围.
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20. (2024九上·福田期中) 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

【概念理解】如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么四边形 $\text{[math]}$ 是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形 $\text{[math]}$ 两组对边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 和斜边 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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21. (2024九上·深圳开学考) 【定义】对于没有公共点的两个图形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，把 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间的距离的最小值称为图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 的距离，记为 $\text{[math]}$ ．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点．
（1）当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的最小值是______，因此 $\text{[math]}$ [点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ]＝______；
（2）当点 $\text{[math]}$ 在任意边上时， $\text{[math]}$ 的最小值是______，因此 $\text{[math]}$ [点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]＝______；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合的一点，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合的一点．
（3）当 $\text{[math]}$ [线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为______；
（4）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ______（结果用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为 $\text{[math]}$ 米，请直接写出所需彩绳的长度．

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