备考2023年中考数学温州卷变式阶梯训练：第24题

更新时间：2023-04-15 浏览次数：80 类型：三轮冲刺

一、原题

1. (2022·温州) 如图1， AB 为半圆O的直径，C为 BA 延长线上一点， CD 切半圆于点D， BE⊥CD ，交 CD 延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3．点P，Q分别在线段 AB、BE上（不与端点重合），且满足 $\text{[math]}$ ．设BQ=x，CP=y．
1. （1）求半圆O的半径．
2. （2）求y关于x的函数表达式．
3. （3）如图2，过点P作 PR⊥CE 于点R，连结 PQ、RQ．
  ①当 △PQR 为直角三角形时，求x的值．
  
  ②作点F关于 QR 的对称点 F' ，当点 F'落在 BC上时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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二、基础

2. (2022·蓝田模拟) 如图，在Rt $\text{[math]}$ ABC中， $\text{[math]}$ ，点O为BC上一点，以O为圆心、OB为半径的⊙ $\text{[math]}$ 切AC于点D，连接OA、BD、OA与BD相交于点E.
1. （1）求证：BD平分 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， ⊙ $\text{[math]}$ 的半径为10，求OE的长.
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3. (2021·武汉模拟) 如图，从 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 引割线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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4. (2022·绵阳) 如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ， DE＝1，求AE的长度；
3. （3）在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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5. (2022·宾阳模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 互相垂直，垂足为H，点E是弧 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点M，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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6. (2020·晋中模拟) 如图，圆心在坐标原点的⊙O ，与坐标轴的交点分别为A、B和C、D ．弦CM交OA于P ，连结AM ，已知tan∠PCO＝ $\text{[math]}$ ，PC、PM是方程x²﹣px+20＝0的两根．
1. （1）求C点的坐标；
2. （2）写出直线CM的函数解析式；
3. （3）求△AMC的面积．
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7. (2022·柳江模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， O为 $\text{[math]}$ 上一点，经过点A的 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，F， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点D，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点G.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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8. (2021·随县) 如图， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ 为9， $\text{[math]}$ .
  ①求线段 $\text{[math]}$ 的长；
  
  ②求线段 $\text{[math]}$ 的长.
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9. (2021·金牛模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径；
3. （3）在（2）的条件下，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
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10. (2022·临安模拟) 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  
  ②求y与x之间的函数关系式．
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11. (2020九上·吴江期中) 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.
1. （1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；
2. （2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC=8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.
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12. (2022·西湖模拟) 如图，已知扇形AOB的半径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C，D分别在半径OA，OB上（点C不与点A重合），连结CD．
1. （1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求OC的长．
2. （2）点P是弧AB上一点， $\text{[math]}$ ．
  ①当点D与点B重合，点P为弧AB的中点时，求证： $\text{[math]}$ ．
  
  ②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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三、困难

13. (2020·西乡塘模拟) 如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点.连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM=BM，EB=AO.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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14. (2023九下·舟山月考) 如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E.
1. （1）求证：∠BPD=∠BAC.
2. （2）连接EB，ED，当 tan∠MAN=2 AB= $\text{[math]}$ 时，在点P的整个运动过程中.
  ①若∠BDE=45°，求PD的长.
  
  ②若ΔBED为等腰三角形，求直接写出所有满足条件的BD的长.
3. （3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，记ΔOFPP的面积为S₁ ， ΔCFE 的面积为S₂ ，请求出 $\text{[math]}$ 的值.
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15. (2021·辉模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）填空：
  ①当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形；
  
  ②当 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形.
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16. (2021·北部湾) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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17. (2022九上·瑞安期中) 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，点P为AC上一点，PD⊥AB于点D，连结PB，以PD为直径的圆交BP于点E，交AC于点F，连结DE，DF，EF．
1. （1）求证：∠DEF=∠ABC．
2. （2）当△DEF为等腰三角形时，求所有满足条件的AP的长．
3. （3）如图2，过D作DM∥EF交PB于点M，若点M为PB的中点，则DM $\text{[math]}$ ．（直接写出答案）
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18. (2022·永康模拟) 已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB=AC，⊙O是 $\text{[math]}$ 的外接圆，CD与⊙O的另一个交点为E，连结AE.
1. （1）当点E在线段CD上时，如图1.
  ①求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$
  
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径.
2. （2）当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F. 如图2，若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. (2021·厦门模拟) 如图1，⊙O的弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所对优弧上一动点且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外角平分线 $\text{[math]}$ 交⊙O于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点；
2. （2）如图2，求⊙O的半径和 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 不是锐角三角形，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.
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20. (2021九上·宁波期中) （提出问题）
如图1，直径AB垂直弦CD于点E，AB＝10，CD＝8，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变.
1. （1）（特殊位置探究）
  当DP＝2时，求tan∠P和线段AQ的长；
2. （2）（一般规律探究）
  如图2，连接AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x， $\text{[math]}$ y.
  
  ①求证：∠ACQ＝∠CPA；
  
  ②求y与x之间的函数关系式；
3. （3）（解决问题）
  当OF＝1时，求△ACQ和△CDQ的面积之比.（直接写出答案）
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