【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的...

更新时间：2023-09-20 浏览次数：11 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2025·) 函数 $\text{[math]}$ 存在3个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·杭州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·唐山模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 存在唯一极值点 B . 对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 过原点的切线有两条 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 存在零点 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为1

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4. (2023高三下·浙江月考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·模拟) 若 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )在 $\text{[math]}$ 上有且只有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·大理模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个零点， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一条对称轴，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 14 B . 16 C . 18 D . 20

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7. (2023·河南模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的两个零点.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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8. (2022·安徽模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在零点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022·吉林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有4个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·佛山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 仅有一个零点，则（）

A . e是 $\text{[math]}$ 的零点 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极大值点 D . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的最小值

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11. (2022·硚口模拟) 函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的定义域都是 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若线段 $\text{[math]}$ 的长度是不为 $\text{[math]}$ 的常数，则称曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为“平行曲线”设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为区间 $\text{[math]}$ 的“平行曲线”其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的零点唯一，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

12. (2021·北京) 已知函数 $\text{[math]}$ ，给出下列四个结论：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有两个零点；

② $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 有一个零点；

③ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 有三个零点；

④ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 有三个零点．

以上正确结论得序号是．

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13. (2023·上海市模拟) 若实数 $\text{[math]}$ 使得存在两两不同的实数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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14. (2023·闵行模拟) 已知在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是函数 $\text{[math]}$ 的两个驻点，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2022·张掖模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ，若实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. (2022·新疆三模) 函数 $\text{[math]}$ 的零点个数为.

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17. (2022·眉山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的零点，则当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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18. (2022·昌平模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 有且仅有两个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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19. (2022·南平三模) 已知函数 $\text{[math]}$ 有零点，则实数 $\text{[math]}$ .

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20. (2022·广州模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的所有零点之和为．

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21. (2022·东城模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为；若 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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22. (2022·湖北模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有三个不同的零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的范围是.

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三、解答题

23. (2025·) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恰有一个零点，求a的取值范围．
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24. (2022·全国乙卷) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．
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25. (2021·重庆模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）有两个极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求a的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围.
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26. (2023·松江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）试将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
2. （2）借助（1）的结果，求函数 $\text{[math]}$ 的导函数和最小值；
3. （3）记 $\text{[math]}$ ， a是实常数，函数 $\text{[math]}$ 的导函数是 $\text{[math]}$ ．已知函数 $\text{[math]}$ 有三个不相同的零点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
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27. (2023·山西模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有唯一零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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28. (2023·榆林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个零点，求a的取值范围．
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29. (2023·安徽月考) 椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 关于x轴的对称点记为 $\text{[math]}$ ． C在点 $\text{[math]}$ 处的切线是指曲线 $\text{[math]}$ 在点P处的切线．定义“ $\text{[math]}$ ”运算满足：①若 $\text{[math]}$ ，且直线PQ与C有第三个交点R，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，且PQ为C的切线，切点为P，则 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
参考公式： $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论函数 $\text{[math]}$ 零点的个数；
2. （2）已知“ $\text{[math]}$ ”运算满足交换律、结合律，若 $\text{[math]}$ ，且PQ为C的切线，切点为P，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ，且直线PQ与C有第三个交点，求 $\text{[math]}$ 的坐标．
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30. (2023·巴中模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其导函数为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有零点；
2. （2）若对任意正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，总存在正数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ．试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由．
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31. (2022高二下·番禺期末) 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间和最值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 的零点个数，并说明理由．
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32. (2022·南充模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证：对于任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有唯一零点．
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33. (2022·天津市模拟) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 的零点的个数.
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34. (2022·湖北模拟) 已知 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2） $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的范围．
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35. (2022·安丘模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求实数a的值；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内的零点个数，并加以证明．
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