【备考2024】真题变式分层练：第9题—2023年高考数学全...

更新时间：2023-10-08 浏览次数：86 类型：二轮复习

一、原题

1. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $\text{[math]}$ 为等边三角形，若二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、基础

2. (2020高三上·云南月考) 已知在三棱锥P-ABC中，PA＝PB， $\text{[math]}$ ABC为锐角三角形，且点P在平面ABC上的投影O₁为 $\text{[math]}$ ABC的垂心，O₂为 $\text{[math]}$ PAB的重心．若二面角P-AB-C的余弦值为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则CO₂＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 1

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3. (2020高二上·重庆月考) 如图，长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 不确定

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4. 在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，则平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5.
已知E，F分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2017高三下·深圳月考) 已知棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 与该正方体的各个面相切，则平面 $\text{[math]}$ 截此球所得的截面的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·北京卷) 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 $\text{[math]}$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正切值均为 $\text{[math]}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高二上·西城期末) 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022高三上·临夏期中) 如图所示， $\text{[math]}$ 是棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共面时，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022高二上·菏泽期中) 已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2022高二上·大通期末) 在正方体 $\text{[math]}$ 中，下列几种说法不正确的是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . B₁C与BD所成的角为60° C . 二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面ABCD所成的角为 $\text{[math]}$

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12. (2013·大纲卷理) 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、提升

13. (2023高二上·榆林期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角 $\text{[math]}$ 的平面角大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2022高二上·福州期中) 二面角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且B、C为垂足， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. (2023·广州模拟) 木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40 $\text{[math]}$ 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 $\text{[math]}$ 的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2023·河南模拟) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，有下列四个结论：
① $\text{[math]}$ ；
②点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；
③二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ；
④若四面体 $\text{[math]}$ 的所有顶点均在球 $\text{[math]}$ 的球面上，则球 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ .
其中所有正确结论的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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17. (2022高三上·南昌月考) 如图是由边长为2的正 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 拼接成的平面图形，现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，当二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. (2022高一下·运城期末) 从空间一点 $\text{[math]}$ 向二面角 $\text{[math]}$ 分别作垂线 $\text{[math]}$ 为垂足.若 $\text{[math]}$ ，则该二面角的平面角的大小为（）

A . 60° B . 120° C . 60°或120° D . 不确定

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19. (2022·长春模拟) 在矩形ABCD中，O为BD中点且 $\text{[math]}$ ，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 $\text{[math]}$ 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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20. (2021高三上·台州期末) 已知在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为棱BC的中点，直线 $\text{[math]}$ 在平面A₁B₁C₁D₁内．若二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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21. (2022·浙江) 如图，已知正三棱柱 $\text{[math]}$ ，E，F分别是棱 $\text{[math]}$ 上的点．记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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四、培优

22.
将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是（　　）

A . ① B . ② C . ③ D . ④

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23. (2022·浙江模拟) 已知点M是棱长为4的正方体 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 的中点.过直线 $\text{[math]}$ 作平面 $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 的交点为K，当平面 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角最小时， $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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24. (2021·南充模拟) 已知边长为1的等边三角形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 有一公共边 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）

A . 2π B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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25. (2023·河北会考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 是等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）线段 $\text{[math]}$ 的长是（）
  
  A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6
2. （2）平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正切值是（）
  
  A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是（）
  
  A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
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26. (2017·广东模拟) 已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 $\text{[math]}$ =0，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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27. (2022·全国乙卷) 在正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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28. (2023·遂宁模拟) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，线段 $\text{[math]}$ 上有两个动点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），且 $\text{[math]}$ ．下列说法不正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 运动时，三棱锥体积 $\text{[math]}$ 不变 C . 当 $\text{[math]}$ 运动时，存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 运动时，二面角 $\text{[math]}$ 为定值

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