沪科版数学九年级上册相似三角形判定及性质应用（专题拓展）

更新时间：2023-11-03 浏览次数：86 类型：同步测试

一、预备定理

1. 如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，DE交AC于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则DF等于（）.

A . 3 B . 4 C . 6 D . 8

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2. (2023九上·聊城月考) 如图，由边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形组成的虚线网格中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为格点 $\text{[math]}$ 即小正方形的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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3. (2023八下·招远期末) 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都在格点处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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4. (2023·黄山模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021九下·武汉月考) 如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，点E是边AB上一点，连接DE交AC于点F.
1. （1）如图1，若点E为AB的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求BE与CF的数量关系；
3. （3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试直接写出边AC的长为.
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二、两角分别相等(AA)

6. (2023九上·长春月考)
如图， $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ．
2. （2）计算点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为．
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7. (2023·嘉定模拟) 如图，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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8. (2022九上·临汾期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是边AC上一点，且 $\text{[math]}$ ，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： $\text{[math]}$ ．

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9. (2024九上·杭州月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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10. (2023·碧江模拟) 如图，已知菱形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的 $\text{[math]}$ 点上，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
2. （2）若菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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三、两边成比例且夹角相等（SAS）

11. (2023九上·成都期末) 如图，点P在 $\text{[math]}$ 的边AC上，要判断 $\text{[math]}$ ，添加下列一个条件，不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分 $\text{[math]}$ ，交DE于点 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，求AF：AG的值.

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13. (2023九上·东阿月考) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$
2. （2）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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四、相似综合判定

14. (2023·枣庄模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（）

A . ①②③ B . ②③④ C . ①② D . ④

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15. (2023·杨浦模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点D在边 $\text{[math]}$ 上，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点E，且 $\text{[math]}$ ，下列结论中，错误的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2023·重庆市模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. (2023八下·潍坊期末) 如图， $\text{[math]}$ 是正方形，E是 $\text{[math]}$ 的中点，P是 $\text{[math]}$ 边上的一动点，下列条件中，能得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似的是（）

A . $\text{[math]}$ B . P是 $\text{[math]}$ 的中点 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. 如图所示， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确的是.(填序号)

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五、折叠问题（相似综合）

19. (2023·潼南模拟) 如图，矩形纸片 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，把纸片按如图所示的方式沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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20. (2023·杭州模拟) 如图，一张矩形纸片ABCD中， $\text{[math]}$ （m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，点D的对应点为点M ， CD与HM交于点P ．当点H落在BC的中点时，且 $\text{[math]}$ ， m=．

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21. (2022九下·淮南月考) 如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE．
1. （1）如图①，线段DF与线段BC相交于点G，当BE=2时，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图②，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长；
3. （3）如图③，连接CD，线段EF与线段CD相交于点M，当△DFM为直角三角形时，求BE的长．
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六、阅读理解型（相似相关）

22. (2023九上·聊城月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若内接正方形 $\text{[math]}$ 的边长是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的数量关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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23. (2022九上·杭州期中) 从三角形 $\text{[math]}$ 不是等腰三角形 $\text{[math]}$ 的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为角平分线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的完美分割线；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的完美分割线，且 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，求 $\text{[math]}$ 的度数；
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的完美分割线，且 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形，求完美分割线 $\text{[math]}$ 的长．
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24. (2022九上·宁波期中) 如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现的，后来被数学爱好者、法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点P为△ABC的布罗卡尔点．若PB＝4，则PA+PC＝．

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