人教A版高一（上）数学期末突击训练专题：第二章（解答题）-在线组卷

1. (2023高一上·吉林月考) 阅读材料：

（1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.
在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸
（2）结合（1）中的不等式关系与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ 的不等式性质．
解答问题：
已知a ， b ， c是三角形的三边，求证： $\text{[math]}$ ．

答案解析收藏纠错 + 选题

2. (2023高一上·蓝田月考) 已知 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求：
① $\text{[math]}$ 的最小值
② $\text{[math]}$ 的最小值.

答案解析收藏纠错 + 选题

3. (2023高一上·深圳期中) 若函数 $\text{[math]}$ .

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的解集；
（2）若 $\text{[math]}$ 时，总 $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数b的取值范围.

答案解析收藏纠错 + 选题

4. (2023高一上·深圳期中) 某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为 $\text{[math]}$ 元，冰淇淋月饼的单价为 $\text{[math]}$ 元，且 $\text{[math]}$ ．现有两种购买方案 $\text{[math]}$ ：

方案一，流心月饼的购买数量为 $\text{[math]}$ 个，冰淇淋月饼的购买数量为 $\text{[math]}$ 个；

方案二，流心月饼的购买数量为 $\text{[math]}$ 个，冰淇淋月饼的购买数量为 $\text{[math]}$ 个．

（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由．
（2）若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求这两种方案花费的差值 $\text{[math]}$ 的最小值（注：差值 $\text{[math]}$ 较大值-较小值）．

答案解析收藏纠错 + 选题

5. (2023高一下·安徽竞赛) 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要应用.称 $\text{[math]}$ 为双曲余弦函数，称 $\text{[math]}$ 为双曲正弦函数.

（1）若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有2个零点，求实数m的取值范围.

答案解析收藏纠错 + 选题

6. (2023高三下·湖南+河南开学考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

答案解析收藏纠错 + 选题

7. (2022高一上·河南月考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（2）求 $\text{[math]}$ 的最小值.

答案解析收藏纠错 + 选题

8. (2022高一上·温州期中) 已知 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围

答案解析收藏纠错 + 选题

9. (2022高一上·南京月考) 甲、乙两同学探讨了一个问题：已知正实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

（1）甲给出的解法：由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ .所以 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；
（2）结合上述问题探讨，试求函数 $\text{[math]}$ 的最小值.

答案解析收藏纠错 + 选题

10. (2022高一上·浙江月考) 已知 $\text{[math]}$

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值及此时 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值及此时 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值及此时 $\text{[math]}$ 的值.

答案解析收藏纠错 + 选题

11. (2022高一上·南阳月考) 已知a，b，c均为正实数.

（1）求证： $\text{[math]}$ .
（2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

12. (2022高一上·河南月考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的最小值.
（2）是否存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？请说明理由.

答案解析收藏纠错 + 选题

13. (2022高一上·南阳月考) 已知正实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

答案解析收藏纠错 + 选题

14. (2022高二下·佳木斯期末)

（1）已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值为？
（2）已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为？
（3）函数 $\text{[math]}$ 的最小值为？

答案解析收藏纠错 + 选题

15. (2022·开封模拟) 已知正数a，b，c满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ ．

答案解析收藏纠错 + 选题

16. (2021高二上·新郑月考) 已知正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

17. (2021高三上·宜春月考) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正数，且满足 $\text{[math]}$ .证明：

（1） $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

18. (2020高一上·南京期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值；
（2）令 $\text{[math]}$ ，求证：对任意给定的非零实数 $\text{[math]}$ ，存在惟一的实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 成立的充要条件是 $\text{[math]}$ ．

答案解析收藏纠错 + 选题

19. (2020高一上·高平期中) 已知正数x，y满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为k．

（1）求k．
（2）若a，b，c为正数，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

答案解析收藏纠错 + 选题

20. (2020·海南模拟) 已知 $\text{[math]}$ 都是正数，求证：

（1） $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

21. (2019高二下·上海期末) 解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

22. (2019高一上·西城期中) 已知关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为A，且 $\text{[math]}$ .

（I）求实数a的取值范围；

（II）求集合A．

答案解析收藏纠错 + 选题

23. (2019高二上·会宁期中) 已知关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值.

答案解析收藏纠错 + 选题

24. (2019高三上·镇江期中) 有一个墙角，两墙面所成二面角的大小为 $\text{[math]}$ 有一块长为 $\text{[math]}$ 米，宽为 $\text{[math]}$ 米的矩形木板．用该木板档在墙角处，木板边紧贴墙面和地面，和墙角、地面围成一个直角三棱柱储物仓 $\text{[math]}$ ．