备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：等式与不等式-在线组卷

1. (2023高三上·绵阳月考) [选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $\text{[math]}$ R，且 $\text{[math]}$ 的解集为[-1，1].

（1）求m的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

2. (2023高一上·南开月考) 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的最大值，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的最大值．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$
（2）若 $\text{[math]}$ ，且对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

答案解析收藏纠错 + 选题

3. (2023高二上·达州月考) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）证明 $\text{[math]}$ 为等差数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式：
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ；
（3）求使不等式 $\text{[math]}$ ，对任意正整数 $\text{[math]}$ 都成立的最大实数 $\text{[math]}$ 的值.

答案解析收藏纠错 + 选题

4. (2024高一上·南山期末) 已知某产品在过去的32天内的日销售量 $\text{[math]}$ （单位：万件）与第 $\text{[math]}$ 天之间的函数关系为① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表：

$\text{[math]}$ （天）	2	4	10	20
$\text{[math]}$ （万件）	12	11	10.4	10.2

（1）请确定 $\text{[math]}$ 的解析式，并说明理由；
（2）若第 $\text{[math]}$ 天的每件产品的销售价格均为 $\text{[math]}$ （单位：元），且 $\text{[math]}$ ，求该产品在过去32天内的第 $\text{[math]}$ 天的销售额 $\text{[math]}$ （单位：万元）的解析式及 $\text{[math]}$ 的最小值.

答案解析收藏纠错 + 选题

5. (2024·九省高考模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，其中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
（2）设 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

答案解析收藏纠错 + 选题

6. (2023高三上·闽清月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
（2）若 $\text{[math]}$ 外接圆的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

答案解析收藏纠错 + 选题

7. (2024高三上·重庆月考) 设函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，
①求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
②求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，已知 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的两个零点（ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导数），求证： $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

8. (2024高一上·辽源期末) 已知关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ .

（1）求实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

答案解析收藏纠错 + 选题

9. (2024·乌江期末) 关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方 $\text{[math]}$ 恒有两个实数根 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 且两个根皆为负时，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
（2）不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值.

答案解析收藏纠错 + 选题

10. (2019高二下·上海月考) 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的“直角距离”为： $\text{[math]}$ .

（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的“直角距离”和为定值 $\text{[math]}$ 的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
①到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点“直角距离”相等；

②到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点“直角距离”和最小.

答案解析收藏纠错 + 选题

11. 画出不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域，并求其面积．

答案解析收藏纠错 + 选题

12. (2016高一下·蕲春期中) 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站毎年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/t和1.6元/t．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？

答案解析收藏纠错 + 选题

13. (2023高三上·哈尔滨开学考) 已知函数 $\text{[math]}$

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
（2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立；
（3）若方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

答案解析收藏纠错 + 选题

14. (2022高一上·温州期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）若不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，求关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集．

答案解析收藏纠错 + 选题

15. (2022高一上·联合期中) 已知 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，解不等式 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 的图像与直线 $\text{[math]}$ 有3个不同的交点，求实数a的取值范围．
（3）在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数t的取值范围．