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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：平面向量

更新时间：2024-02-22 浏览次数：9 类型：三轮冲刺

一、解答题

1. (2024高三上·广州月考) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的动直线交抛物线于不同两点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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2. (2023高一下·闵行期末) 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 $\text{[math]}$ 看作一个向量，记 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，我们有如下运算法则：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .
2. （2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
  ① $\text{[math]}$
  ② $\text{[math]}$
  ③ $\text{[math]}$ .
  试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .对于任意的 $\text{[math]}$ ，求出满足条件 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，并将此时的 $\text{[math]}$ 记为 $\text{[math]}$ ，证明对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立.
  根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
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3. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内所对应的点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形（其中 $\text{[math]}$ 为原点）．

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4. (2024高三上·天津市月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个顶点为 $\text{[math]}$ 分别是椭圆的左､右焦点，且离心率 $\text{[math]}$ ，过椭圆右焦点 $\text{[math]}$ 且斜率为k的直线l与椭圆C交于M ， N两点.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 为原点），求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）过原点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为P ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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5. (2023高二上·浙江月考) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， BP ， AP ， BC的中点分别为D ， E ， O ， $\text{[math]}$ ，点F在AC上， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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6. (2023高二上·梅河口开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，设角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ ，且三角形的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为O ，且满足 $\text{[math]}$ ，求m的值．
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7. (2024咸阳高考模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率是双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率的倒数，椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）当过点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于两个不同点 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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8. (2023高三上·上海市期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且Γ的左焦点为 $\text{[math]}$ 直线l与Γ交于M，N两点.
1. （1）求椭圆Γ的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.
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9. (2023高二上·青羊期中) 已知圆 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .
1. （1）过点 $\text{[math]}$ 向圆 $\text{[math]}$ 引切线，求切线的方程.
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，且点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 点运动的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程.
3. （3）设圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 上满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与（2）中曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，满足 $\text{[math]}$ .试探究是否存在这样的直线 $\text{[math]}$ ，若存在，请说明理由并写出直线 $\text{[math]}$ 的斜率，若不存在，请说明理由.
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10. (2023高一下·静安期末) 如图，平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是单位向量，夹角为 $\text{[math]}$ ，那么，向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成平面的一个基.若 $\text{[math]}$ ，则将有序实数对 $\text{[math]}$ 称为向量 $\text{[math]}$ 的在这个基下的斜坐标，表示为 $\text{[math]}$ .
1. （1）记向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求向量 $\text{[math]}$ 在这个基下的斜坐标；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
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11. (2023高一下·清远期末) 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示.已 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标不变，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域.
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12. (2023高二上·浙江月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M是椭圆上的一点，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）过右焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E交于A，B两点，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点P，交直线 $\text{[math]}$ 于点Q，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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13. (2023高二上·惠州月考) 已知 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的平分线与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的周长为5，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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14. (2023高二上·阳江期中) 已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直线l与圆O恰好相切．
1. （1）求圆O的方程；
2. （2）若直线l上存在距离为2的两点M ， N ，在圆O上存在一点P ，使得 $\text{[math]}$ ，求实数k的取值范围．
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15. (2023高三上·长沙月考) $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，点O为 $\text{[math]}$ 的内心，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 中选一个作为条件，判断 $\text{[math]}$ 是否存在，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.
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16. (2023高三上·梅江月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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17. (2019高一下·重庆期中) 如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2018高二下·黑龙江月考) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆的标准方程；
2. （2）圆 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的圆，一直线 $\text{[math]}$ 与之相切，并与椭圆交于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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