浙教版数学九上章末重难点专训二次函数综合-图形存在问题

更新时间：2024-07-24 浏览次数：54 类型：单元试卷

一、解答题

1. (2024九下·双流月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线解析式及 $\text{[math]}$ 点坐标；
2. （2） $\text{[math]}$ 是平面直角坐标系内一点，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $\text{[math]}$ 坐标；
3. （3）该抛物线对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2. (2024·中山模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式；
2. （2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴、线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，过点F作 $\text{[math]}$ 轴于点N ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求点F的坐标；
  ②试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并证明．
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3. (2023九上·武汉期中) 如图，已知抛物线y＝αx²+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
1. （1）求该抛物线的表达式；
2. （2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．
3. （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
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二、综合题

4. (2024·黑龙江) 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x²﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S ．
1. （1）求点A的坐标；
2. （2）求S与t的函数关系式；
3. （3）在（2）的条件下，当S＝6 $\text{[math]}$ 时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
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5. (2024·泰安) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）将拋物线 $\text{[math]}$ 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线 $\text{[math]}$ ，求拋物线 $\text{[math]}$ 的表达式，并判断点 $\text{[math]}$ 是否在拋物线 $\text{[math]}$ 上；
3. （3）在 $\text{[math]}$ 轴上方的抛物线 $\text{[math]}$ 上，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形.若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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6. (2024·白银) 如图1，抛物线y＝a（x﹣h）²+k交x轴于O ， A（4，0）两点，顶点为B（2，2 $\text{[math]}$ ），点C为OB的中点．
1. （1）求抛物线y＝a（x﹣h）²+k的表达式；
2. （2）过点C作CH⊥OA ，垂足为H ，交抛物线于点E ．求线段CE的长．
3. （3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD ．
  ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
  ②如图3，连接BD ， BF ，求BD+BF的最小值．
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7. (2024·泸州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点B ，且关于直线 $\text{[math]}$ 对称．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是 $\text{[math]}$ ，求t的值；
3. （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D ，在y轴上是否存在点E ，使得以B ， C ， D ， E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
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8. (2024·达州) 如图1，抛物线y＝ax²+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C ，点D是抛物线的顶点．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，连接AC ， DC ，直线AC交抛物线的对称轴于点M ，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S_△_PMC＝2S_△_DMC ，求点P的坐标；
3. （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N ， A ， C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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9. (2024九下·丰城期中) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ， M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线 $\text{[math]}$ 轴于点N.
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）当直线 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的最大值，并求此时点M的坐标；
4. （4）在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q ，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
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10. (2024·霞山模拟) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝ $\text{[math]}$ ，设点F（m ， 0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
1. （1）求抛物线C的函数表达式；
2. （2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
  ①抛物线C'的解析式为 ▲（用含m的关系式表示）；
  ②求m的取值范围；
3. （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
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11. (2024·莘县模拟) 已知如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式；
2. （2）在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上，是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？
3. （3）点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成矩形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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12. (2024·云梦模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的函数解析式；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 为第三象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3） $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是直线 $\text{[math]}$ 和抛物线上的动点，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标比点 $\text{[math]}$ 的横坐标大 $\text{[math]}$ 个单位长度，分别过 $\text{[math]}$ 作坐标轴的平行线，得到矩形 $\text{[math]}$ ．设该抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
  $\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式．
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