二次函数与分段函数—浙教版数学九（上）知识点训练

更新时间：2024-11-26 浏览次数：1 类型：复习试卷

一、选择题

1. 现有函数 $\text{[math]}$ 如果对于任意的实数 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象总有交点，那么实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024九上·广州月考) 如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止.设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A . B . C . D .

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3. (2024·齐齐哈尔模拟) 如图，正方形ABCD的边长是4，点E ， F分别是AB ， AD的中点，点P ， Q为正方形ABCD边上的两个动点，点P从点D出发，沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，到达点C时停止运动；同时，点Q从点E出发，沿 $\text{[math]}$ 匀速运动，动点P ， Q速度的大小相同．设点P运动的路程为x ， $\text{[math]}$ 的面积为y ，下列图象中能反映y与x之间函数关系的是（）

A . B . C . D .

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4. (2023九上·吴兴期中) 在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝ $\text{[math]}$ ，则称点Q为点P的“亲密点”．例如：点（1，2）的“亲密点”为点（1，3），点（﹣1，3）的“亲密点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y＝x²﹣2x﹣3的图象上，则其“亲密点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（）

A . B . C . D .

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二、填空题

5. (2024八下·宛城月考) 若函数y= $\text{[math]}$ ，则当函数值y＝8时，自变量x的值等于.

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6. (2021九上·安义月考) 在平面直角坐标系xOy中，函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）的图象记为W，图象W经过点 $\text{[math]}$ ，则n的值为．

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7. (2024九下·浙江模拟) 定义一个运算： $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ．用 $\text{[math]}$ 表示大于 $\text{[math]}$ 最小整数，如 $\text{[math]}$ ．按照上述规定，若整数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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三、解答题

8. 某商店销售某种商品的进价为每件 30 元，这种商品在近 60 天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：

时间：第 $\text{[math]}$ （天）

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
日销售价（元/件）
$\text{[math]}$
50
日销售量（件）
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 为整数）
设该商品的日销售利润为 $\text{[math]}$ 元．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式 $\text{[math]}$
2. （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
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9. (2024·吉林) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm ， AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB ，交AC于点Q ，以PQ为边作等边三角形PQE ，且点C ， E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm²）．
1. （1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．
2. （2）当点E与点C重合时，求t的值．
3. （3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
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10. (2023九下·海淀开学考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过原点．
1. （1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标；
2. （2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ， W与 $\text{[math]}$ 组成一个新函数的图象．
  ①若点 $\text{[math]}$ 在该新函数图象上，求b的值；
  ②若点 $\text{[math]}$ 是新函数图象上两点，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，直接写出m的取值范围．
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11. (2024·湖北) 如图，二次函数y＝﹣x²+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B ，交y轴于C ．
1. （1）求b的值．
2. （2） M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO ，求M点的横坐标．
3. （3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L ， L与y轴交于点D ，记DC＝d ，记L顶点横坐标为n ．
  ①求d与n的函数解析式．
  ②记L与x轴围成的图象为U ， U与△ABC重合部分（不计边界）记为W ，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
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12. (2023九上·石景山期中) 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 $\text{[math]}$ ，对于任意的函数值 $\text{[math]}$ ，都满足 $\text{[math]}$ ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 $\text{[math]}$ 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数 $\text{[math]}$ 的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）将函数 $\text{[math]}$ 的图象向下平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到的函数的边界值是 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 在什么范围时，满足 $\text{[math]}$ ？

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13. (2022九上·长沙月考) 对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”
如：一次函数y=x﹣1，关联函数为 $\text{[math]}$ ，这个关联函数的转折点是（1，0）．
1. （1）已知一次函数y=2x﹣3，请直接写出它的“关联函数”的解析式．
2. （2）已知二次函数y= $\text{[math]}$ ﹣2x﹣3，点（a，4）在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
3. （3）在平面直角坐标系内，有点M（﹣1，1）、N（3，1），二次函数y= $\text{[math]}$ ﹣2x+a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．求a的取值范围
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14. (2024九上·南宁开学考) 在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式 $\text{[math]}$ 画函数图象 $\text{[math]}$ 利用函数图象研究函数性质 $\text{[math]}$ 利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数 $\text{[math]}$ 的性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题
1. （1）列表：函数自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围是全体实数，下表列出了变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应数值：
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  根据表格中的数据直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数解析式及对应的自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）描点、连线：在右侧的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ▲ ；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ 的图象如图，结合函数图象，请直接写出当 $\text{[math]}$ 时，自变量 $\text{[math]}$ 的值． $\text{[math]}$ 结果保留 $\text{[math]}$ 位小数，误差不超过 $\text{[math]}$
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15. (2024·夹江模拟) 如图所示，图象G由图象 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成，其中图象 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图象，图象 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图象．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 在图象G上，求p的值；
2. （2）已知直线l与x轴平行，且与图象G有三个不同的交点，从左至右依次为点A、B、C ，若 $\text{[math]}$ ，求点C的坐标；
3. （3）当图象G上的点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时，记此时x的取值范围为M ．设 $\text{[math]}$ ，若在M中总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求此时实数m的取值范围．
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16. (2024·荆州模拟) 如图，已知经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．

（备用图）
1. （1）请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交该抛物线的对称轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若在（2）的条件下，若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上在 $\text{[math]}$ 轴右侧的一个动点，其横坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到抛物线对称轴和直线 $\text{[math]}$ 的距离分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， ①求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式；②当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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17. (2023九上·呼兰期中) 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图2，连接BC ，点P为BC下方抛物线上一点，连接PB ， PC ，若设 $\text{[math]}$ 的面积为S ，点P的横坐标为t ，求s与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
3. （3）在（2）的条件下，如图3，点Q为BC上一点，连接PQ并延长交x轴于点E ，延长PB至点D ，连接QD交x轴于点M ， $\text{[math]}$ ，点M为QD中点，连接AC ，点F在AC上，连接EF ， $\text{[math]}$ 交BC于点K ，连接EK ， EH平分 $\text{[math]}$ 交FK于点H ， $\text{[math]}$ 交EF于点T ， $\text{[math]}$ 于点G ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点P的坐标．
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18. (2024·长沙会考) 定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．
1. （1）【基本应用】
  (ⅰ)如图，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均在直线l上．
  ①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；
  ②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；
  (ⅱ)在（ⅰ）的条件下，点 $\text{[math]}$ 为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．
2. （2）【创新应用】如果反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像上有一点 $\text{[math]}$ ，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为．
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