备考2023年中考数学压轴题训练 ——四边形（2）

更新时间：2023-05-14 浏览次数：163 类型：三轮冲刺

一、真题

1. (2022·江西) 问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 $\text{[math]}$ 的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
1. （1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时，重叠部分的面积为；当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积 $\text{[math]}$ 与S的关系为；
2. （2）类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 分别与正方形的边相交于点M，N．
  ①如图2，当 $\text{[math]}$ 时，试判断重叠部分 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
  ②如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求重叠部分四边形 $\text{[math]}$ 的面积（结果保留根号）；
3. （3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为 $\text{[math]}$ （设 $\text{[math]}$ ），将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的两边与正方形 $\text{[math]}$ 的边所围成的图形的面积为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值与最大值（分别用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），
  （参考数据： $\text{[math]}$ ）
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2. (2024·临沂一模) $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，运动到点B、C停止.
1. （1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；
2. （2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
3. （3）当点D运动到什么位置时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形 $\text{[math]}$ 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
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3. (2022·河南) 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
1. （1）操作判断
  操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
  
  操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.
  
  根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：.
2. （2）迁移探究
  小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
  
  将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.
  
  ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝▲ °，∠CBQ＝▲ °；
  
  ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.
3. （3）拓展应用
  在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长.
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4. (2022·衡阳) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿线段 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ （平方单位），点 $\text{[math]}$ 运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）.
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
4. （4）以线段 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 运动路径的长.
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5. (2022·常德) 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，如图，求证：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ .
2. （2）当四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
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6. (2022·益阳) 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
1. （1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
2. （2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
3. （3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
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二、模拟预测

7. (2023·蒸湘模拟) 已知：如图，矩形 $\text{[math]}$ 中和 $\text{[math]}$ 中，点C在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点M从点D出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，同时，点N从点E出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，交 $\text{[math]}$ 于点G.设运动时间t（s）为（ $\text{[math]}$ ）.
解答下列问题：
1. （1）当t为何值时， $\text{[math]}$ ？
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于Q，当四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，求t的值；
3. （3）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为S（ $\text{[math]}$ ），求S与t的函数关系式.
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8. (2023·随州模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在直线 $\text{[math]}$ 右侧，且 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点M，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，
  ①如图2，当G、C、M三点共线时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N，求 $\text{[math]}$ 的值；
  ②如图3，取 $\text{[math]}$ 中点P，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长度的最大值.
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9. (2023·萧县模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别落在x轴和y轴上，将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点F，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点F，交 $\text{[math]}$ 于点G．
1. （1）求k的值．
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，则图中是否存在与 $\text{[math]}$ 相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．
3. （3）点M在直线 $\text{[math]}$ 上，N是平面内一点，当四边形 $\text{[math]}$ 是正方形时，请直接写出点N的坐标．
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10. (2022·颍州模拟) 如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点P为对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图②，过P点作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点E．求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）在图③中，过P点作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点E，猜想线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．
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11. (2022·宣州模拟) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
1. （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，求证：CF＝DE．
2. （2）如图2，在矩形ABCD中，过点C作CE⊥BD交AD于点E，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AB＝5，AD＝3，CF＝7．求DE的长．
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12. (2023九下·南昌期中) 如图，两个全等的四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其中四边形 $\text{[math]}$ 的顶点O位于四边形 $\text{[math]}$ 的对角线交点O．
1. （1）如图1，若四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是正方形，则下列说法正确的有．（填序号）
  ① $\text{[math]}$ ；②重叠部分的面积始终等于四边形 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．
2. （2）应用提升：如图2，若四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是矩形， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．
3. （3）类比拓展：如图3，若四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是菱形， $\text{[math]}$ ，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用 $\text{[math]}$ 表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
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13. (2023·郓城模拟) 实践与探究
1. （1）操作一：如图①，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 对折并展开，折痕 $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 交于点E，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为．
2. （2）操作二：如图②，摆放矩形纸片 $\text{[math]}$ 与矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使B、C、G三点在一条直线上， $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
3. （3）拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片 $\text{[math]}$ 与正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使点F在边 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．已知正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为5，正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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14. (2023·青岛模拟) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
1. （1） [观察与猜想]
  如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为＝；
2. （2）如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．
3. （3） [性质探究]
  如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．求证： $\text{[math]}$ ；
4. （4） [拓展延伸]已知四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
  如图④，点P是 $\text{[math]}$ 上的点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上．求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （5）如图⑤，点P是 $\text{[math]}$ 上的一点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为O，点O恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点G．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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15. (2023·青岛模拟) 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
1. （1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
2. （2）设四边形PEGO的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
3. （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
4. （4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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16. (2024·高州模拟)
1. （1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；
2. （2）【类比探究】
  如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
3. （3）【拓展提升】
  如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为．
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17. (2023·青岛模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点D出发沿 $\text{[math]}$ 向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线 $\text{[math]}$ 向终点C运动．过点P作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：
1. （1）当E、Q重合时，求t的值；
2. （2）设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为S，当线段 $\text{[math]}$ 在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，求t的值；
4. （4）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
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18. (2023·沁阳模拟) 问题情境：
数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB＝8，长AD＝8 $\text{[math]}$ .
动手实践：
1. （1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为BE，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ ，则折痕BE的长为.
2. （2）如图2，永攀小组将矩形纸片ABCD沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC.再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），第二条折痕与AD交于点E.请写出OC与OA的数量关系，并说明理由.
3. （3）如图3，探究小组将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪下，在AE上取中点F，将△ABF沿BF折叠得到△MBF，点P、Q分别是边 $\text{[math]}$ 上的动点（均不与顶点重合），将 $\text{[math]}$ 沿PQ折叠使 $\text{[math]}$ 的对应点N恰好落在BM上，当 $\text{[math]}$ 的一个内角与 $\text{[math]}$ 相等时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.
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19. (2023·封丘模拟) 在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB.
1. （1）若四边形ABCD为正方形.
  ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；
  ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
2. （2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图3中画出草图，并直接写出AE′与DF′的数量关系.
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