【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：幂函数

更新时间：2023-08-17 浏览次数：17 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2023·天津卷) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高一上·齐齐哈尔期中) 已知a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，则（　　）

A . b＜a＜c B . a＜b＜c C . b＜c＜a D . c＜a＜b

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3. (2022·天津市模拟) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高三上·深州开学考) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·天津市模拟) 设正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则a， $\text{[math]}$ ， c的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·唐山模拟) 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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8. (2022·大荔模拟) 下列说法中正确的是（）

A . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件 B . 命题“对 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ” C . 在同一直角坐标系中，函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . 若幂函数 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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9. (2022·潮州二模) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，则下列命题正确的有（）．

A . 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 为非奇非偶函数 C . 过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 图象相切的直线方程为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. (2023高二下·宁波期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆周率， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴有两个交点 B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 最大

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11. (2023高一下·洮南期末) 下面叙述正确的有（）

A . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ； B . 若函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； C . 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减．

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12. (2016高一上·武邑期中) 幂函数y=x^α ，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x^α ， y=x^β的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 幂函数y=x^α ，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x^α ， y=x^β的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ=（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

14. (2021·新高考Ⅱ卷) 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $\text{[math]}$ ．
① $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 是奇函数．

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15. (2018·上海) 已知 $\text{[math]}$ ，若幂函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，且在 $\text{[math]}$ 上递减，则α=

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16. (2023·黄浦模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 的图像经过点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，则m的值为．

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17. (2021·黄浦模拟) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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18. (2022高一上·攀枝花期末) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图像过点 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ．

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19. (2018·鞍山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有三个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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20. (2023·金山模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的表达式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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21. (2022·东城模拟) 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 $\text{[math]}$ ，劳累程度 $\text{[math]}$ ，劳动动机 $\text{[math]}$ 相关，并建立了数学模型 $\text{[math]}$ ．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
@甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是．

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22. (2020·南通模拟) 幂函数 $\text{[math]}$ 的单调增区间为.

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23. (2023高一上·高碑店月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是幂函数，且在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则实数 $\text{[math]}$ .

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24. (2023高一上·福田期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像经过点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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三、解答题

25. (2023高一上·郴州期末) 已知 $\text{[math]}$ 是幂函数，且在 $\text{[math]}$ 上单调递增．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值 $\text{[math]}$ ．
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26. (2022高二下·济宁期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）如果函数 $\text{[math]}$ 为幂函数，试求实数a、b、c的值；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，试求ab的最大值.
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27. (2021高一上·章丘期中) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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28. (2021高一上·福州期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，幂函数 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 的图像过点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 趋向于负无穷大时， $\text{[math]}$ 的图像无限接近于直线 $\text{[math]}$ 但又不与该直线相交：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增.
1. （1）分别求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的解析式，并在同一直角坐标系中作出两函数的草图；
2. （2）定义 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的最小者，记为 $\text{[math]}$ ，例如，当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的最小者.请结合（1）中的两个函数图象分别用图象法（草图）与解析法表示 $\text{[math]}$ .
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29. (2020高一上·长春期末)
1. （1）计算 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．
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30. (2020高一上·舒城期末) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，函数 $\text{[math]}$ ；
1. （1）求m的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值域分别是A、B，若 $\text{[math]}$ ，求实数k的取值范围；
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31. (2022高一上·碑林期中) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称，集合 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值域为集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 成立的充分不必要条件，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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32. (2021高一上·房山期末) 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 满足条件 $\text{[math]}$ ，试求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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33. (2023高二下·山西期中) 某生产制造企业统计了近10年的年利润 $\text{[math]}$ （千万元）与每年投入的某种材料费用 $\text{[math]}$ （十万元）的相关数据，作出如下散点图：

选取函数 $\text{[math]}$ 作为每年该材料费用 $\text{[math]}$ 和年利润 $\text{[math]}$ 的回归模型.若令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，得到相关数据如表所示：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

31.5

15

15

49.5

参考数据： $\text{[math]}$ .
1. （1）求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的回归方程；
2. （2）计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）.
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34. (2023高一上·龙岗期末) 济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 $\text{[math]}$ ，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当 $\text{[math]}$ 时列车为满载状态，载客量为500人，当 $\text{[math]}$ 时，载客量会减少，减少的人数与 $\text{[math]}$ 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
2. （2）若该线路每分钟的净收益为 $\text{[math]}$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
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35. (2017高一上·吉林月考) 已知 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值
2. （2）求 $\text{[math]}$
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36. 已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数
1. （1）求m的值和函数f（x）的解析式
2. （2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．
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