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2024高考一轮复习第十八讲导数与函数的证明

更新时间：2023-09-20 浏览次数：40 类型：一轮复习

一、解答题

1. (2023·唐山模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ ．
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2. (2022高二下·中山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处有极值2．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
（Ⅱ）证明： $\text{[math]}$ ．

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3. (2022高二下·南山期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导数．证明：
1. （1） $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 存在唯一极大值点；
2. （2） $\text{[math]}$ 有且仅有2个零点．
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4. (2022高三上·包头期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 存在唯一极大值点；
2. （2） $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 存在唯一极小值点；
3. （3） $\text{[math]}$ 有且只有一个零点.
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5. (2021高三上·河南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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6. (2022·北京) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

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7. (2020高二下·吉林开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，证明 $\text{[math]}$ 有极小值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）证明 $\text{[math]}$ ．

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8. (2021·鹤壁模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极值点，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ．

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9. (2021·吉林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）设函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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10. (2021高二下·宿州期中) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.
（Ⅰ）若函数 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
（Ⅱ）若函数 $\text{[math]}$ 的导数 $\text{[math]}$ 的两个零点从小到大依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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11. (2019·全国Ⅱ卷文) 已知函数 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ 存在唯一的极值点；
2. （2） $\text{[math]}$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
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12. (2020高三上·北京月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；

（Ⅲ）判断 $\text{[math]}$ 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

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13. (2020·池州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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14. (2020高二下·成都期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 取值的集合；

（Ⅱ）证明： $\text{[math]}$ .

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15. (2019高三上·安徽月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在唯一极大值点；
2. （2） $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有一个零点.
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16. (2020高二下·应城期中) 已知函数，f(x)= $\text{[math]}$ -mx²-m+ln(1-m)，(m<1)．
（Ⅰ）当m= $\text{[math]}$ 时，求f(x)的极值；

（Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点．

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