备考2024年中考数学探究性训练专题2 图形规律

更新时间：2024-03-10 浏览次数：50 类型：二轮复习

一、选择题

1. 根据图中箭头的指向规律，从2022到2023再到2024，箭头的方向是图示中的（）

A . B . C . D .

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2. (2023九上·渝北期中) 用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第 $\text{[math]}$ 个图形需要围棋子的枚数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023九上·寿阳月考) 如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么其底边与腰之比等于 $\text{[math]}$ ，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；…以此类推，第2023个黄金三角形的腰长是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有2个圆圈，第2个图案中有5个圆圈，第3个图案中有8个圆圈，第4个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第7个图案中圆圈的个数为（）

A . 14 B . 20 C . 23 D . 26

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5. (2023九上·金沙期中) 将一个正方形剪成n个小正方形，第一次操作按照图1所示，分割出4个正方形，第二次操作按如图2所示，分割出6个正方形，第三次操作按如图3所示，按照上述规律，则第n次操作，正方形的个数为（）

A . （n+1）² B . 3n+1 C . 2n D . 2n+2

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6. (2023九上·邵东月考) 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转45°后得到正方形 $\text{[math]}$ ，依此方式，绕点 $\text{[math]}$ 连续旋转2023次得到正方形 $\text{[math]}$ ，那么点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023九上·耿马期中) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在原点上， $\text{[math]}$ 边在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023九上·泸州期中) 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 $\text{[math]}$ 的中心与原点O重台， $\text{[math]}$ 轴，交y轴于点P．将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，每次旋转 $\text{[math]}$ ，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023九上·沙坪坝期中) 如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……，照此规律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（）

A . 19个 B . 22个 C . 25个 D . 26个

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10. (2023九上·石家庄期中) 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC ，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC₁B₁ ，使矩形ACC₁B₁∽矩形ADCB；再连接AC₁ ，以对角线AC₁为边，按逆时针方向作矩形AC₁C₂B₂ ，使矩形AC₁C₂B₂∽矩形ACC₁B₁ ， …，按照此规律作下去，则边AC₂₀₂₂的长为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2023七上·衡阳月考) 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第 $\text{[math]}$ （n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是（用含n的代数式表示）．

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12. (2023九上·新田月考) 如图，在正方形ABCB₁中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB₁交直线l于点A₁ ，作正方形A₁B₁C₁B₂ ，延长C₁B₂交直线l于点A₂ ，作正方形A₂B₂C₂B₃；延长C₂B₃交直线l于点A₃ ， …，依此规律，则A₂₀₂₃B₂₀₂₃＝．

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13. (2023九上·醴陵月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且四边形 $\text{[math]}$ 是正方形……，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，则线段 $\text{[math]}$ 的长度是．

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14. (2023九上·江阳月考) “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为．

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15. (2023九上·邛崃月考) 如图，等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以OA₂为直角边作Rt $\text{[math]}$ ，再以OA₃为直角边作Rt $\text{[math]}$ ，以此规律作等腰Rt $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是

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16. (2023九上·市南区期中) 如图，A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， …An，A_n+1是直线y＝ $\text{[math]}$ x+2上的点，分别过点A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， …A_n ， A_n+1作x轴的垂线，垂足分别为B₁ ， B₂ ， B₃ ， B₄ ， …B_n ， B_n+1已知OB₁＝B₁B₂＝B₂B₃＝B₃B₄＝…＝B_nB_n+1＝1，连接A₁B₂ ， B₁A₂和A₂B₃ ， B₂A₃ ， …A_nB_n+1依次相交于点P₁ ， P₂ ， P₃ ， …P_N ， △A₁B₁P₁ ， △A₂B₂P₂ ， △A₃B₃P₃ ， …，△A_NB_NP_N的面积依次为S₁ ， S₂ ， S₃ ， …S_N ，则S_n等于．

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三、实践探究题

17. 【观察思考】
1. （1）【规律发现】请用含n的式子填空：
  第n个图案中“◎”的个数为.
2. （2）第1个图案中“★”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第2个图案中“★”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第3个图案中“★”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第4个图案中“★”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 个图案中“★”的个数可表示为.
3. （3）【规律应用】
  结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2＋3＋……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.
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18. (2023九上·青岛月考) 如图， $\text{[math]}$ 个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【规律探究】：
  探究一
  探究二
  探究三
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
2. （2）【结论归纳】
  $\text{[math]}$ ．（用含n的式子表示）
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19. (2024九下·南岗竞赛) 【观察思考】
【规律发现】
请用含 $\text{[math]}$ 的式子填空：
1. （1）第 $\text{[math]}$ 个图案中“ $\text{[math]}$ ”的个数为；
2. （2）第 $\text{[math]}$ 个图案中“ $\text{[math]}$ ”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 个图案中“ $\text{[math]}$ ”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 个图案中“ $\text{[math]}$ ”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 个图案中“ $\text{[math]}$ ”的个数可表示为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 个图案中“ $\text{[math]}$ ”的个数可表示为．
3. （3）【规律应用】
  结合图案中“ $\text{[math]}$ ”的排列方式及上述规律，求正整数 $\text{[math]}$ ，使得连续的正整数之和 $\text{[math]}$ 等于第 $\text{[math]}$ 个图案中“ $\text{[math]}$ ”的个数的 $\text{[math]}$ 倍．
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20. (2023九上·郑州经济技术开发月考) 阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.

则第 $\text{[math]}$ 个三角数可以用 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且为整数）来表示.
1. （1）若三角数是55，则n=；
2. （2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示前 $\text{[math]}$ 行所有点数的和；
3. （3）在（2）中的三角点阵中前 $\text{[math]}$ 行的点数的和能为120吗?如果能，求出 $\text{[math]}$ ，如果不能，请说明理由.
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21. (2023九上·芜湖期中) 如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“ $\text{[math]}$ ”形图形，观察图形：

图1 图2 图3
1. （1）按此规律，图4中小正方形的数量是个；
2. （2）我们把图1中小正方形个数记作 $\text{[math]}$ ，图2中小正方形图个数记作 $\text{[math]}$ ，图 $\text{[math]}$ 中小正方形个数记作 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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22. (2023·合肥模拟) 图形规律

①

②

③

④

序号	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	……
梯形数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	……	？

如图，按此规律摆放，

（1）第 $\text{[math]}$ 个图中梯形数为，第 $\text{[math]}$ 个图中梯形数为，第 $\text{[math]}$ 个图中梯形数为，第 $\text{[math]}$ 个图中梯形数为；
（2）第 $\text{[math]}$ 个图中梯形数与第 $\text{[math]}$ 个图中梯形数的差为；

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23. (2023·太和模拟) 为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
1. （1）第5个图案有个正三角形
2. （2）第n个图案中有个正三角形，（用含n的代数式表示）
3. （3）【问题解决】
  现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
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24. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.

（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
四面体	4	4	6
长方体	m	6	12
正八面体	n	8	12
正十二面体	20	12	30

（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是.
（3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数.

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25.
1. （1）观察图1所示的点阵图和相应的等式，并在④后面的横线上写出相应的等式.
  ①1=1；
  ② $\text{[math]}$
  ③ $\text{[math]}$
  ④；
  ...
2. （2）结合(1)观察图2所示的点阵图和相应的等式，并在⑤后面的横线上写出相应的等式.
  ① $\text{[math]}$
  ② $\text{[math]}$
  ③ $\text{[math]}$
  ④ $\text{[math]}$
  ⑤；
  ...
3. （3）请通过猜想，写出(2)中与第n个点阵图相对应的等式。
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26. (2021·李沧模拟) （问题）用n边形的对角线把n边形分割成（n-2个三角形，共有多少种不同的分割方案 $\text{[math]}$ ？
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有 $\text{[math]}$ 种．

探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以， $\text{[math]}$ ．

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：

第1类：如图③，用点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $\text{[math]}$ 种不同的分割方案，所以，此类共有 $\text{[math]}$ 种不同的分割方案．

第2类：如图④，用点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为 $\text{[math]}$ 种分割方案．

第3类：如图⑤，用点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．

所以， $\text{[math]}$ （种）

探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：

第1类：如图⑥，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 $\text{[math]}$ 种不同的分割方案，所以，此类共有 $\text{[math]}$ 种不同的分割方案．

第2类：如图⑦，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $\text{[math]}$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $\text{[math]}$ 种分割方案．

第3类：如图⑧，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $\text{[math]}$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $\text{[math]}$ 种分割方案．

第4类：如图，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 $\text{[math]}$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $\text{[math]}$ 种分割方案．

所以， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ （种）

探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ ，共有种不同的分割方案．

……

（结论）用 $\text{[math]}$ 边形的对角线把 $\text{[math]}$ 边形分割成 $\text{[math]}$ 个三角形，共有多少种不同的分割方案 $\text{[math]}$ ？（直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系式，不写解答过程）

（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）

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27. (2023·秦皇岛模拟) 为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）．
1. （1）填写下表：
  每条边上摆放的盆数（n）
  2
  3
  4
  5
  6
  …
  需要的鲜花总盆数（y）
  3
  6
  9
  …
2. （2）写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：
3. （3）能否用2023盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．
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28. (2022九上·青岛期中) [问题提出]如图1，由 $\text{[math]}$ （长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

[问题探究]我们先从较为简单的情形入手．

如图2，由 $\text{[math]}$ 个小立方块组成的长方体中，长共有 $\text{[math]}$ 条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有 $\text{[math]}$ 个长方体．

如图3，由 $\text{[math]}$ 个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有 $\text{[math]}$ 条线段，高有1条线段，所以图中共有 $\text{[math]}$ 个长方体．
1. （1）如图4，由 $\text{[math]}$ 个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有 $\text{[math]}$ 条线段，所以图中共有个长方体．
2. （2）由 $\text{[math]}$ 个小立方块组成的长方体中，长共有 $\text{[math]}$ 条线段，宽共有条线段，高共有条线段，所以图中共有个长方体．
3. （3） [问题解决]由 $\text{[math]}$ 个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有条线段，所以图中共有个长方体．
4. （4） [结论应用]如果由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
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