2025高考一轮复习（人教A版）第4讲基本不等式

更新时间：2024-08-29 浏览次数：33 类型：一轮复习

一、选择题

1. (2024高二下·炎陵月考) 已知 $\text{[math]}$ ．则“ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. (2024高三下·开平模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ．），则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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3. (2024·汕头模拟) 若实数a，b满足0＜a＜b，且a+b=1．则下列四个数中最大的是（）

A . $\text{[math]}$ B . a²+b² C . 2ab D . a

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4. (2024·桂林模拟) 数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零常数， $\text{[math]}$ ）来表示，当 $\text{[math]}$ 取到最小值为2时，下列说法正确的是（）

A . 此时 $\text{[math]}$ B . 此时 $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . 此时 $\text{[math]}$ 的最小值为2 D . 此时 $\text{[math]}$ 的最小值为0

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5. (2024高三下·射洪模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 3 B . 4 C . 8 D . 9

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6. (2024高三下·湖北模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列， $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ ，则( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·邵阳模拟) 下列函数对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·社旗模拟) 已知 $\text{[math]}$ 中，a､b､c为角A､B､C的对边， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的内角平分线交于点I， $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2024·温州月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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10. (2024·重庆市模拟) 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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11. (2024高三下·宜春模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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12. (2024高三下·吉安月考) 已知 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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13. (2024·河池模拟) 若实数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. (2024·红河模拟) 如图，在棱长均相等的斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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三、解答题

15. (2024高三上·河北模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求中线 $\text{[math]}$ 长的最大值.
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16. (2024高三下·社旗模拟) 函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 零点个数．
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17. (2024高三下·重庆三模) 已知在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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18. (2024·河池模拟) 已知 $\text{[math]}$ 中角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长的最大值，并求出此时角 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 的大小.
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19. (2024高三下·射洪模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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20. (2024高三下·江西模拟) $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且b是a ， c的等比中项．
1. （1）求B的最大值：
2. （2）若C为钝角，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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