精选新定义型题—2024年浙教版数学九（上）期中复习

更新时间：2024-10-19 浏览次数：13 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2023九上·越城月考) 定义：给定关于x的函数 y ，对于该函数图象上任意两点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），当x₁﹤x₂时，都有y₁﹤y₂ ，称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，是增函数的（）

A . ①③④ B . ①② C . ③④ D . ①③

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2. (2024九上·拱墅月考) 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E ，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若CF＝4a ，则AB＝（　　）

A . （ $\text{[math]}$ ﹣1）a B . （2 $\text{[math]}$ ﹣2）a C . （ $\text{[math]}$ +1）a D . （2 $\text{[math]}$ +2）a

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3. (2023九上·浙江期中) 定义平面内任意两点P(x₁ ， y₁)、Q(x₂ ， y₂)之间的距离d_PQ=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距d_PQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y= $\text{[math]}$ x-2上，点B为抛物线y=x²+2x上一点，则曼距d_AB的最小值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023九上·鹿城月考) 定义：在平面直角坐标系中，若点 $\text{[math]}$ 满足横、纵坐标都为整数，则把点 $\text{[math]}$ 叫做整点．如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是整点．已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若该抛物线在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的部分与线段 $\text{[math]}$ 所围的区域（包括边界）恰有 $\text{[math]}$ 个整点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022九上·舟山月考) 定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax² $\text{[math]}$ bx $\text{[math]}$ c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1 $\text{[math]}$ m，2 $\text{[math]}$ m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0.5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ②③ C . ①②③ D . ①②③④

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6. (2019九上·舟山期中) 对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，自变量的值为m时，函数值等于-m ，则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零.例如：图中的函数有4，－1两个反向值，其反向距离n等于5.现有函数y＝ $\text{[math]}$ ，则这个函数的反向距离的所有可能值有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个及以上的有限个 D . 无数个

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7. (2018九上·长兴月考) 定义：如果抛物线：y=a₁x²+bx+c₁(a₁≠0)与抛物线y=a₂x²+bx+c₂(a₂≠0)满足：a₁+a₂=0，c₁+c₂=0，则称这两条抛物线互为“同胞抛物线”．现有下列结论：①抛物线y=(x+1)²-2的同胞抛物线是抛物线y=(x+1)²+2；②若两条抛物线互为同胞抛物线，则它们的顶点关于原点对称；③已知抛物线C₁与抛物线C₂互为同胞抛物线，若点M(2，3)在抛物线C1上，则N(-3，-2)在抛物线C₂上；④已知抛物线C₁与抛物线C₂互为同胞抛物线。则它们一定有两个不同的交点．
其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. (2023九上·绍兴月考) 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是以 $\text{[math]}$ 为自变量的函数， $\text{[math]}$ 为实数.当 $\text{[math]}$ 时，函数值分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .则称 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为友好函数，以下 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 不一定是友好函数的是（）

A . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2019九上·杭州月考) 定义[a ， b ， c]为函数y＝ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m ， 1﹣m ， ﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 $\text{[math]}$ ；

③当m＜0时，函数在 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而减小；

④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．

其中正确的结论有．（只需填写序号）

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10. (2018九上·椒江月考) 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b= $\text{[math]}$ 设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m是任意实数）恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是.

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11. (2022九上·北仑期中) 对于实数a，b，定义运算“*”： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，关于x的方程 $\text{[math]}$ 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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12. (2020九上·越城期中) 如图，直线l： $\text{[math]}$ ，一组抛物线的顶点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…B_n（n，y_n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A₁（x₁ ， 0），A₂（x₂ ， 0），A₃（x₃ ， 0）…，A_n+1（x_n+1 ， 0）（n为正整数），设x₁=d（0＜d＜1）若其中一条抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这条抛物线就称为：“美丽抛物线”.则当d（0＜d＜1）的大小变化时能产生美丽抛物线相应的d的值是.

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13. (2020九上·嘉兴月考) 定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b.如max{1，﹣3}＝1，则max{x²+2x+3，﹣2x+8}的最小值是.

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三、解答题

14. (2024九上·定海开学考) 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 $\text{[math]}$ 是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ $\text{[math]}$ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 图象上．点 $\text{[math]}$ 的“纵横值”为 $\text{[math]}$ ；函数 $\text{[math]}$ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，所以函数 $\text{[math]}$ 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
1. （1） ①点 $\text{[math]}$ 的“纵横值”为；
  ②求出函数 $\text{[math]}$ 的“最优纵横值”；
2. （2）若二次函数 $\text{[math]}$ 的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，且最优纵横值为5，求c的值；
3. （3）若二次函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
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15. (2019九上·天台月考) 定义｛a，b，c｝为函数y=ax $\text{[math]}$ +bx+c的“特征数”.如：函数 $\text{[math]}$ 的“特征数”是｛1，-2，3｝.将“特征数”为｛1，-4，1｝的函数图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到一个新函数图象，求这个新函数图象的解析式．

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16. (2024九上·岱山开学考) 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 $\text{[math]}$ 是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ $\text{[math]}$ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 图象上．点 $\text{[math]}$ 的“纵横值”为 $\text{[math]}$ ；函数 $\text{[math]}$ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，所以函数 $\text{[math]}$ 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
1. （1） ①点 $\text{[math]}$ 的“纵横值”为；
  ②求出函数 $\text{[math]}$ 的“最优纵横值”；
2. （2）若二次函数 $\text{[math]}$ 的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，且最优纵横值为5，求c的值；
3. （3）若二次函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
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17. (2019九上·湖州月考) 阅读下列材料，解决材料后的问题：
材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为： $\text{[math]}$ ，例如17与16的友好数为 $\text{[math]}$ .

材料二：对于实数 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示不超过实数 $\text{[math]}$ 的最大整数，即满足条件 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，例如：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……
1. （1）由材料一知： $\text{[math]}$ 与1的“友好数”可以用 $\text{[math]}$ 表示，已知 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，请求出实数a的取值范围；
3. （3）已知实数 $\text{[math]}$ 满足条件 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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18. (2022九上·新昌月考) 定义：如图1，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 把线段 $\text{[math]}$ 分割成三条线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的比例中段， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中段分点.
1. （1）已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中段分点.
  ①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ；
  ②在图1中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
2. （2）如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的比例中段， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 延长线上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线分别交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .探究 $\text{[math]}$ 是否为线段 $\text{[math]}$ 的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..
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19. (2022九上·新昌期中) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，弦 $\text{[math]}$ 平分圆周角 $\text{[math]}$ ，我们将圆中以A为公共点的三条弦 $\text{[math]}$ 构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形 $\text{[math]}$ 内接于圆， $\text{[math]}$ ，
1. （1）证明：圆中存在“爪形D”；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$
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20. (2023九上·绍兴月考) 若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” $\text{[math]}$ ，其“明德点”为 $\text{[math]}$ .
1. （1） ①判断：函数 $\text{[math]}$ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
  ②函数 $\text{[math]}$ 的图像上的明德点是；
2. （2）若抛物线 $\text{[math]}$ 上有两个“明德点”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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21. (2023九上·义乌期中) 定义：将函数C的图象绕点P（0，n）旋转180°，得到新的函数C₁的图象，我们称函数C₁是函数C关于点P的相关函数．
例如：当n＝1时，函数y＝ $\text{[math]}$ （x﹣6）²+3关于点P（0，1）的相关函数为y＝ $\text{[math]}$ （x+6）²﹣1．
1. （1）当n＝0时，
  ①二次函数y＝x²关于点P的相关函数为；
  ②点A（2，3）在二次函数y＝ax²﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值；
2. （2）函数y＝﹣x²+ $\text{[math]}$ 关于点P的相关函数是y＝x² $\text{[math]}$ ，则n＝；
3. （3）当 $\text{[math]}$ n﹣1≤x≤ $\text{[math]}$ n+3时，函数y＝﹣2x²+nx $\text{[math]}$ n²的相关函数的最小值为7，求n的值．
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22. (2023九上·路桥月考) 对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为 $\text{[math]}$ ，这个关联函数的转折点是(1，0)．
1. （1）已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
2. （2）已知二次函数y＝x²－2x－3，点(a ， 4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
3. （3）在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x²－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
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23. (2023九上·杭州期中) 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是 $\text{[math]}$ 的“美丽角”．
1. （1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是 $\text{[math]}$ 上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是 $\text{[math]}$ 的“美丽角”吗？请说明理由；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的度数为α，请用含α的式子表示 $\text{[math]}$ 的“美丽角”度数；
3. （3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5， $\text{[math]}$ 的“美丽角”为90°，当 $\text{[math]}$ 时，求CE的长．
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24. (2022九上·慈溪期中) 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的两点，若直径 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“幸运角”.
1. （1）如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“幸运角”吗？请说明理由；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 的“幸运角”度数；
3. （3）在（1）的条件下，直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“幸运角”为 $\text{[math]}$ .
  ①如图3，连结 $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.
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