2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：二次函数（5）

更新时间：2023-07-23 浏览次数：98 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2024九下·荆门月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，则 $\text{[math]}$ ．其中，正确的结论有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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2. (2024九下·济宁模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 在该函数的图象上 B . 当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 该函数的图象与x轴一定有交点 D . 当 $\text{[math]}$ 时，该函数图象的对称轴一定在直线 $\text{[math]}$ 的左侧

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3. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点，下列说法正确的是（）

A . 抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ B . 抛物线的顶点坐标为 $\text{[math]}$ C . A，B两点之间的距离为5 D . 当 $\text{[math]}$ 时，y的值随x值的增大而增大

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4. (2023九上·瑶海期中) 已知二次函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是自变量），当 $\text{[math]}$ 时对应的函数值 $\text{[math]}$ 均为正数，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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5. (2024·平阴模拟) 经过 $\text{[math]}$ 两点的抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自变量）与 $\text{[math]}$ 轴有交点，则线段 $\text{[math]}$ 长为（）

A . 10 B . 12 C . 13 D . 15

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6. (2023九上·上虞月考) 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t² ，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是（）

A . 5 B . 10 C . 1 D . 2

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7. (2024·万山模拟) 如图，拋物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）关于直线 $\text{[math]}$ 对称．下列五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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8. (2023·凉山) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）

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二、填空题

9. (2023·乐山) 定义：若x，y满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ （t为常数），则称点 $\text{[math]}$ 为“和谐点”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是“和谐点”，则 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若双曲线 $\text{[math]}$ 存在“和谐点”，则k的取值范围为．
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10. (2023·宜宾) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ，且抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的交点B在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间（不含端点），则下列结论：

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

②当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

③当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，在 $\text{[math]}$ 内存在唯一点P，使得 $\text{[math]}$ 的值最小，最小值的平方为 $\text{[math]}$ ．

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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三、综合题

11. (2024九下·铁山模拟) 某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且 $\text{[math]}$ ，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式 $\text{[math]}$
1. （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为 $\text{[math]}$ 元， $\text{[math]}$ 元，请分别写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
2. （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
3. （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润 $\text{[math]}$ （售价 $\text{[math]}$ 成本） $\text{[math]}$ 产销数量 $\text{[math]}$ 专利费】
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12. (2024·长沙模拟) 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的 $\text{[math]}$ 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以 $\text{[math]}$ 为原点建立如图所示直角坐标系.
1. （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。
2. （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点 $\text{[math]}$ 正上方2.25m处?
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13. (2023九上·滨江月考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求该函数图象的顶点坐标.
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为2；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为3，求二次函数的表达式.
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14. (2023九上·怀远期中) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
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15. (2023·舟山) 在二次函数 $\text{[math]}$ 中，
1. （1）若它的图象过点 $\text{[math]}$ ，则t的值为多少？
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，y的最小值为 $\text{[math]}$ ，求出t的值：
3. （3）如果 $\text{[math]}$ 都在这个二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围。
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16. 已知点(-m，0)和(3m，0)在二次函数y=ax²+bx+3(a，b是常数，a≠0)的图象上。
1. （1）当m=-1时，求a和b的值：
2. （2）若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围：
3. （3）求证：b²+4a=0．
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17. (2024·惠东模拟) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
3. （3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 $\text{[math]}$ 的直线（直线 $\text{[math]}$ 除外）与抛物线交于G，H两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交x轴于点M，N．试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
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18. (2024九下·枣阳期中) 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P是抛物线上的一个动点．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）当点P在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D．如图1．当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）过点P作x轴的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，当点M的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
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19. (2023·遂宁) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对称轴过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且垂直于 $\text{[math]}$ 轴．过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 轴上时， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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20. (2023·乐山) 已知 $\text{[math]}$ 是抛物 $\text{[math]}$ （b为常数）上的两点，当 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$
1. （1）求b的值；
2. （2）将抛物线 $\text{[math]}$ 平移后得到抛物线 $\text{[math]}$ ．
  探究下列问题：
  
  ①若抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 有一个交点，求m的取值范围；
  
  ②设抛物线C₂与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为点E， $\text{[math]}$ 外接圆的圆心为点F，如果对抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点P，在抛物线 $\text{[math]}$ 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．
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21. (2023·宜宾) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）点M是y轴上一动点，当 $\text{[math]}$ 最大时，求M的坐标．
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22. (2023·连云) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，拋物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且平行于 $\text{[math]}$ 轴，与拖物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的右侧）.将抛物线 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得到抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求此时 $\text{[math]}$ 所对应的函数表达式；
3. （3）在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ 的面积为3， $\text{[math]}$ 两点分别在边 $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 长度的最小值，并简要说明理由.
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23. (2023·金华) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于点A，B，抛物线的顶点 $\text{[math]}$ 在直线AB上，与 $\text{[math]}$ 轴的交点为C，D，其中点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .直线BC与直线PD相交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图2，若抛物线经过原点 $\text{[math]}$ .
  ①求该抛物线的函数表达式；②求 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）连结 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 能否相等？若能，求符合条件的点 $\text{[math]}$ 的横坐标；若不能，试说明理由.
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24. (2023·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于B，C两点.
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
3. （3）过点 $\text{[math]}$ 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得 $\text{[math]}$ 始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
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25. (2023·达州) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，求出 $\text{[math]}$ 的最大面积及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上一动点，点 $\text{[math]}$ 为坐标平面内一点，是否存在以 $\text{[math]}$ 为边，点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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26. (2024·南城模拟) 如图，已知抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 过抛物线的顶点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数解析式；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的最大值；
  
  ②当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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27. (2023·泸州) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与坐标轴分别相交于点A，B， $\text{[math]}$ 三点，其对称轴为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴，直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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28. (2023·重庆) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且交x轴于点 $\text{[math]}$ ， B两点，交y轴于点C．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 于点D，过点P作y轴的平行线交直线 $\text{[math]}$ 于点E，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值及此时点P的坐标；
3. （3）在（2）中 $\text{[math]}$ 周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
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29. (2023·重庆) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的对应点，平移后的抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 $\text{[math]}$ 为腰的 $\text{[math]}$ 是等腰三角形的点 $\text{[math]}$ 的坐标，并把求其中一个点 $\text{[math]}$ 的坐标的过程写出来．
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