2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一3.2 双...

更新时间：2023-08-08 浏览次数：127 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023·义乌模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二下·达州期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为2，则它的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二下·简阳月考) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，以F为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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4. (2023高二下·成都期末) 若双曲线的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，实轴长为 $\text{[math]}$ ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·黄埔) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线与椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的四个交点及椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·全国甲卷) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，其中一条渐近线与圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·全国乙卷) 设A，B为双曲线 $\text{[math]}$ 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高二下·成都期末) 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 和双曲线 $\text{[math]}$ 有公共的焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的离心率分别为 $\text{[math]}$ ，且在第一象限相交于点 $\text{[math]}$ ，则下列说法中错误的是（）

① 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；② 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为1；③ $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ；④ 若 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值2．

A . ①② B . ②③ C . ③④ D . ②④

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二、多项选择题

9. (2023·湛江模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的上焦点为 $\text{[math]}$ ，过焦点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，并与另一条渐近线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高二下·杭州) 设双曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 离心率的最小值为 $\text{[math]}$ B . 离心率最小时双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 若直线 $\text{[math]}$ 同时与两条渐近线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 处的切线与两条渐近线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为定值

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11. (2023·汕头模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 曲线C可能是圆，也可能是直线 B . 曲线C可能是焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆 C . 当曲线C表示椭圆时，则 $\text{[math]}$ 越大，椭圆越圆 D . 当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 $\text{[math]}$

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12. (2023·大庆模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$ ， M为双曲线E上任意一点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ B . 双曲线的标准方程为 $\text{[math]}$ C . 点M到两条渐近线的距离之积为 $\text{[math]}$ D . 若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线E的另一个交点为P，Q为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2024高二下·龙门月考) 已知双曲线C的焦点为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，则C的方程为．

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14. (2024高二下·上海市期末) 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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15. (2023高二下·黄浦期末) 双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点F到其一条渐近线的距离为．

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16. (2024高二下·长宁期末) 设 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 左、右焦点，且 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，若点M在 $\text{[math]}$ 的右支上，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的左支相交于点N，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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17. (2023·虹口模拟) 过原点的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右两支分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的右焦点，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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18. (2023·遂宁模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线从左往右顺次交于 $\text{[math]}$ 两点.若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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19. (2023高二下·揭阳期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左支上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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20. (2023·新高考Ⅰ卷) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ . 点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上. 点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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四、解答题

21. (2023高二上·魏县期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过右焦点 $\text{[math]}$ 且与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）若双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，虚轴长为 $\text{[math]}$ ，求双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的斜率存在，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的斜率；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率.
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22. (2023高二上·西城期末) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 是由满足直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积等于定值 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 组成的集合.
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 是一个圆（或圆的一部分），求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若曲线 $\text{[math]}$ 是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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23. (2023高二上·金华期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，斜率为1的直线过双曲线C上一点 $\text{[math]}$ 交该曲线于另一点B，且线段 $\text{[math]}$ 中点的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线C的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 均与圆 $\text{[math]}$ 相切．设 $\text{[math]}$ 与双曲线C的另一个交点为P， $\text{[math]}$ 与双曲线C的另一个交点为Q，则当 $\text{[math]}$ 时，求点M的坐标．
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24. (2023高二上·武汉期末) 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且与双曲线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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