2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.4 数学归...

更新时间：2023-09-10 浏览次数：43 类型：同步测试

一、选择题

1. (2022高二下·北海期末) 用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ 的过程中，由 $\text{[math]}$ 递推到 $\text{[math]}$ 时等式左边增加的项数为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高二下·郑州期末) 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的自然数都成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2023高二上·孝义期末) 用数学归纳法证明等式 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 左端需要增乘的代数式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高三上·张掖月考) 用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ 的过程中，由 $\text{[math]}$ 递推到 $\text{[math]}$ 时，不等式左边（）

A . 增加了一项 $\text{[math]}$ B . 增加了一项 $\text{[math]}$ C . 增加了 $\text{[math]}$ ，又减少了 $\text{[math]}$ D . 增加了 $\text{[math]}$ ，又减少了 $\text{[math]}$

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5. (2022高二下·眉山期末) 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 时，由 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，左边需要添加的项数为（）

A . 1 B . k C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高二下·鄠邑期末) 用数学归纳法证明下列等式： $\text{[math]}$ ．要验证当 $\text{[math]}$ 时等式成立，其左边的式子应为（）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高二下·钦州期末) 用数学归纳法证明不等式1＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋…＋ $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ (n∈N^*)成立，其初始值至少应取（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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8. (2022高二下·郑州期中) 用数学归纳法证明“不等式 $\text{[math]}$ 对一切正整数 $\text{[math]}$ 恒成立”的第二步中，已经假设 $\text{[math]}$ 时不等式成立，推理 $\text{[math]}$ 成立的步骤中用到了放缩法，这个放缩过程主要是证明（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

9. (2021·重庆模拟) 已知各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 的前n项之积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 无论 $\text{[math]}$ 取何值，均存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 成立 D . 无论 $\text{[math]}$ 取何值，数列 $\text{[math]}$ 中均存在与 $\text{[math]}$ 的数值相同的另一项

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10. (2021高二下·锦州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 均为递增数列， $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

11. (2022高二下·奉贤期中) 用数学归纳法证明“ $\text{[math]}$ ”，在验证 $\text{[math]}$ 成立时，等号左边的式子是.

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12. (2024高二下·铅山月考) 用数学归纳法证明“ $\text{[math]}$ ＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共项．

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13. (2022·浙江模拟) 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为 $\text{[math]}$ ，总结规律并以此类推下去，第 $\text{[math]}$ 个图形对应的点数为，若这些数构成一个数列，记为数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2022·浙江模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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四、解答题

15. (2022高二下·郑州期末) 用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ ．

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16. (2022高二下·百色期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .
1. （1）试求： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，并猜想数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）用数学归纳法加以证明.
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17. (2022高二下·河池期末) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）根据（1）的计算结果，猜想 $\text{[math]}$ 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
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18. (2022高二下·虹口期末) 在数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，并猜测数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．
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19. (2022·温州模拟) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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20. (2022高二下·遂宁期末) 设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并猜想数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
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21. (2022高二下·鄠邑期中) 在数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列（ $\text{[math]}$ ）．求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此猜测 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式，并证明你的结论．

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22. (2023高三上·昌平期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .记集合 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，写出集合 $\text{[math]}$ 的所有元素；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ 存在一个元素是3的倍数，证明： $\text{[math]}$ 的所有元素都是3的倍数；
3. （3）求集合 $\text{[math]}$ 的元素个数的最大值.
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