【培优卷】1.2 30°、45°、60°角的三角函数值—20...

更新时间：2023-09-18 浏览次数：60 类型：同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

1. (2023·青岛模拟) 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB= $\text{[math]}$ ， ∠C=120°，则点B′的坐标为（）

A . （3， $\text{[math]}$ ） B . （3，- $\text{[math]}$ ） C . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） D . （ $\text{[math]}$ ， - $\text{[math]}$ ）

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2. (2024九上·怀化期末) 由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·灞桥模拟) 在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E，F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若S矩形ABCD：S菱形BEDF＝（2+ $\text{[math]}$ ）：2，则 $\text{[math]}$ ＝（　）

A . $\text{[math]}$ B . 2 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·天河模拟) 如图，在▱OABC中，边OC在x轴上，点A（1， $\text{[math]}$ ），点C（3，0）.按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于 $\text{[math]}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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5. (2021·滨湖模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连结BE.若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 2 $\text{[math]}$ D . 3 $\text{[math]}$

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6. (2021·许昌模拟) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点B在x轴的正半轴上， $\text{[math]}$ ，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点О逆时针旋转，使点B的对应点 $\text{[math]}$ 落在边OA上，则 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·淅川模拟) 如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，2 $\text{[math]}$ ），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）

A . （－1， $\text{[math]}$ ） B . （－1，－3） C . （－2，0 ） D . （1，－3）

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8. (2022·章丘模拟) 如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1， $\text{[math]}$ ），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于 $\text{[math]}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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9. (2020九下·碑林月考) 如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A， B， E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2019·温州模拟) 如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（）

A . 4 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 8 $\text{[math]}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. (2024九下·上海市模拟) 在△ABC中，AB = AC = 5，tanB = $\text{[math]}$ . 若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ，且⊙O经过点B与C ，那么线段OA的长等于.

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12. (2023·凤县模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 为折痕将 $\text{[math]}$ 折叠，使点A落在点D处，如果 $\text{[math]}$ 恰好与 $\text{[math]}$ 垂直，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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13. (2021·西安模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 $\text{[math]}$ ，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是.

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14. (2020·新昌模拟) 如图，点A在反比例函数y= $\text{[math]}$ （x>0）的图象上，点B在反比例函数y= $\text{[math]}$ （k<0）的图象上，且OA⊥OB，线段AB交反比例函数y= $\text{[math]}$ （x>0）的图象于另一点C，连结OC。若点C为AB的中点，tan∠OCA= $\text{[math]}$ ，则k的值为。

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15. (2021·娄底模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都表示角度），比如求 $\text{[math]}$ ，可利用公式得 $\text{[math]}$ ，又如求 $\text{[math]}$ ，可利用公式得 $\text{[math]}$ ，请你结合材料，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），则 $\text{[math]}$ 的度数是．

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三、解答题（共7题，共55分）

16. (2022·潍坊)
1. （1）在计算 $\text{[math]}$ 时，小亮的计算过程如下：
  解： $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；
  请写出正确的计算过程．
2. （2）先化简，再求值： $\text{[math]}$ ，其中x是方程 $\text{[math]}$ 的根．
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17. (2022九上·凤阳月考) 已知，矩形 $\text{[math]}$ 中，点F在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 于点E，如图1．
  ①证明： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，如图2，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2021·河西模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ，点P为线段 $\text{[math]}$ 外一动点，且 $\text{[math]}$ ．点B为x轴上一点，现在以B为中心，将 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为等边三角形；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）当点B的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的最大值（直接写出结果即可）．
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19. (2023·江西模拟)
1. （1）课本再现
  如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  求证： $\text{[math]}$ ．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证 $\text{[math]}$ ，可设法证 $\text{[math]}$ ，若设 $\text{[math]}$ ，则只需证 $\text{[math]}$ ．
  请你根据以上分析，完成证明．
2. （2）知识应用
  如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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20. (2020九上·会宁期中) 已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.
1. （1）当α＝60°时（如图1），
  ①判断△ABC的形状，并说明理由；
  
  ②求证：BD＝ $\text{[math]}$ AE；
2. （2）当α＝90°时（如图2），求 $\text{[math]}$ 的值.
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21. (2020·绍兴模拟) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC.
1. （1）当sinB＝ $\text{[math]}$ 时，
  ①求证：BE＝2CD；
  
  ②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）.BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.
2. （2）当sinB＝ $\text{[math]}$ 时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2 $\text{[math]}$ ，求线段CD的长.
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22. (2020·陕西模拟) 某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，像 $\text{[math]}$ 这样的三角形均称为“中垂三角形”.
1. （1）（特例探究）
  如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  
  如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）（归纳证明）
  请你观察（1）中的计算结果，猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
3. （3）（拓展证明）
  如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 并延长至 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.
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