高中数学三轮复习（直击痛点）：专题9平面向量数量积的最值问题

更新时间：2024-01-27 浏览次数：13 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2023高二上·惠州月考) 在一个边长为2的等边三角形 $\text{[math]}$ 中，若点P是平面 $\text{[math]}$ (包括边界)中的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·重庆市期中) 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心О ，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -1 B . -2 C . 1 D . 2

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3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 1

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4. (2022高一下·宿迁期末) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点O的直线分别交直线 $\text{[math]}$ 于M，N两个不同的点，若 $\text{[math]}$ ，其中m，n为实数，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 5

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5. (2021高二上·杭州期中) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

6. (2023高二上·南宁月考) 已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

A . $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等边三角形 D . $\text{[math]}$ 最小值为2

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7. (2023高二下·舟山期末) 已知 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 边上的两个动点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为2 C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为1

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8. (2023高一下·龙岩期末) 已知 $\text{[math]}$ 是边长为1的正六边形 $\text{[math]}$ 所在平面内一点， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 为正六边形 $\text{[math]}$ 的中心时， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为4 C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 可以为0

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三、填空题

9. (2023高二上·宝山月考) 已知圆 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别过圆心 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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10. (2023高一下·达州期末) 如图，D是等边 $\text{[math]}$ 内的动点，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最大值时， $\text{[math]}$ ．

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11. (2023高一下·台州期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ 恒成立，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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12. (2023高二下·浙江月考) 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 内一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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13. (2023高一下·广西月考) 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ 为对角线的交点，动点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. (2022高一下·宁波期末) 已知平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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四、解答题

15. (2024·潍坊期末) $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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16. (2023高二上·定州月考) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴上的动点，且 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上任意一点（不与端点重合），斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的值与点 $\text{[math]}$ 的位置无关，求 $\text{[math]}$ 的值.
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17. (2023高二上·福州期中) 已知直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距是在 $\text{[math]}$ 轴上截距的2倍，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值及取得最小值时直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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18. (2023高二下·舟山期末) 在直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是坐标原点，向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. (2023高一下·河南月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 外接圆的半径为 $\text{[math]}$ ，且AC边上的中线长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2） $\text{[math]}$ 的外心O、重点G、垂心H依次位于同一直线上，这条直线叫欧拉线，证明：
  （i） $\text{[math]}$ ；
  
  （ii） $\text{[math]}$ ．
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20. 已知 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求角 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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21. (2022·德阳三模) 在 $\text{[math]}$ ABC中，角A，B，C的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$
1. （1）求角B的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ABC面积的最大值.
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