高中数学三轮复习（直击痛点）：专题18隐圆问题

更新时间：2024-02-23 浏览次数：10 类型：三轮冲刺

一、填空题

1. (2024高二上·南山期末) 已知点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 的最大值为长轴，且以 $\text{[math]}$ 分别为左､右焦点的椭圆为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点到 $\text{[math]}$ 轴的距离为.

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2. (2024高三上·绵阳高考模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最小距离为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是．

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3. (2024高二上·重庆市期末) 古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A ， B ，则满足 $\text{[math]}$ 的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知 $\text{[math]}$ ，动点M满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为.

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4. (2023高二上·绍兴期中) 若对于一个实常数 $\text{[math]}$ ，恰有三组实数对 $\text{[math]}$ 满足关系式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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5. (2023高二上·宝安期中) 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是.

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6. (2023高二上·上海市月考) 已知M为抛物线C： $\text{[math]}$ 上一点，过抛物线C的焦点F作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为N ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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7. (2023高二下·山西月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 内侧一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一动点， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，该抛物线 $\text{[math]}$ 上一点A（非顶点）处的切线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ ．

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二、解答题

8. (2023高二上·成都月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点M满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设圆 $\text{[math]}$ ，若直线l过圆 $\text{[math]}$ 的圆心且与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程.
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9. (2024高二下·东坡期末) 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，动点P满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求动点P的轨迹C的方程；
2. （2）若直线l过点 $\text{[math]}$ 且与轨迹C相切，求直线l的方程.
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10. (2023高二上·北京市月考) 已知点 $\text{[math]}$ ，动点P 满足：|PA|=2|PB|．
1. （1）若点P的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，求此曲线的方程；
2. （2）若点Q在直线l_1：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线 $\text{[math]}$ 只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
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11. (2023高三上·前郭尔罗斯月考) 已知坐标平面上点 $\text{[math]}$ 与两个定点 $\text{[math]}$ 的距离之比等于2．
1. （1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
2. （2）记（1）中的轨迹为C ，过点 $\text{[math]}$ 的直线l被C所截得的线段的长为 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．
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12. (2023高二上·常熟期中) 已知线段 $\text{[math]}$ 的端点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，端点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹是曲线 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （异于原点 $\text{[math]}$ ）直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
  ①证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，并求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足，证明：存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值．
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三、选择题

13. (2024高三上·牡丹江期末) 已知点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023高二上·云浮月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. (2023高三上·东城月考) 已知曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）， $\text{[math]}$ .若曲线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. (2023高二上·东莞期中) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点P为正方形 $\text{[math]}$ 内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为 $\text{[math]}$ 的点P的轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. (2023高二上·长春期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. (2023高二上·永嘉期末) 已知点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 右支上的动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线的左，右焦点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 24 D . 26

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四、多项选择题

19. (2023高三上·重庆市月考) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 无最大值

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20. (2023·江西模拟) 加斯帕尔·蒙日（图1）是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P ， Q均在C的蒙日圆O上，PA ， PB分别与C相切于A ， B ，则下列说法正确的是（）

A . C的蒙日圆方程是 $\text{[math]}$ B . 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ C . 若点P在第一象服的角平分线上，则直线AB的方型为 $\text{[math]}$ D . 若直线PQ过原点O ，且与C的一个交点为G ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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21. (2023高二上·广州月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线为 $\text{[math]}$ ，焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与准线 $\text{[math]}$ 相切 C . 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 过点 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点的直线至多有2条

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22. (2023高二上·福州期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹记为 $\text{[math]}$ .下列结论正确的（）

A . 轨迹 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） B . 存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与轨迹 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$

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