2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之线段最值（二）

更新时间：2024-05-22 浏览次数：117 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2022九上·温州开学考) 如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB ， E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝ $\text{[math]}$ BD ，连接AE ， CF ，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）

A . 等于定值5- $\text{[math]}$ B . 有最大值 $\text{[math]}$ C . 有最小值 $\text{[math]}$ D . 有最小值 $\text{[math]}$

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2. (2022八下·中山期末) 如图，在边长为a的正方形 $\text{[math]}$ 中，E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，则点P到边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之和 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 有最大值a B . 有最小值 $\text{[math]}$ C . 是定值a D . 是定值 $\text{[math]}$

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3. (2022九上·舟山期中) 如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（）

A . 随点C的运动而变化，最小值为 $\text{[math]}$ B . 随点C的运动而变化，最大值为8 C . 随点C的运动而变化，最大值为 $\text{[math]}$ D . 随点C的运动而变化，但无最值

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4. (2023九上·雨花月考) 如图， $\text{[math]}$ 的半径是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线，切点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023九下·江油月考) 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（）

A . 8 B . 10 C . 12 D . 20

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6. (2024·浦北模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D ， P是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，以点P为直角顶点向右作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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7. (2023九上·宝安期中) 在周长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，点 $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024八下·北仑期中) 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝60°，E是边DC延长线上一点，连接BE ，以BE为边作等边三角形BEF ，连接FC ，则FC的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023八下·凤阳期末) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， G是 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上左右滑动，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023九上·临平月考) 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A ， B重合的点，CD平分∠ACB ，交⊙O于D ， AE平分∠CAB ，交CD于E ．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为 $\text{[math]}$ ．
其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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11. (2024九上·馆陶期末) 如图， $\text{[math]}$ 的半径 $\text{[math]}$ 弦 $\text{[math]}$ 于点E ， C是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大值为18，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 8 B . 6 C . 4 D . 2

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12. (2023八下·澄海期末) 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\text{[math]}$ 的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段 $\text{[math]}$ 长的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 8

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13. (2023·南漳模拟) 如图，△ABC中，∠ABC＝90°， $\text{[math]}$ ， D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023·合肥模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则边 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 8 D . $\text{[math]}$

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15. (2023九上·内江期末) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直线l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若点Р是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. (2023·宜宾模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别是 $\text{[math]}$ 的中点．将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 存在最大值为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 存在最小值为 $\text{[math]}$ ；④点P运动的路径长为 $\text{[math]}$ ．其中，正确的是（）

A . ①③④ B . ①②④ C . ①②③ D . ②③④

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18. (2022·惠民模拟) 如图，函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

19. (2024八下·绥阳月考) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，边长为2，点E ， F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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20. (2024·澄海模拟) 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB ，则PB的最小值．

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21. (2024·东莞模拟) 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是。

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22. (2024八下·武汉期中) 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，在运动过程中始终保持AE=CF ，连接EF ，取EF中点G ，连接AG ，则AG的最小值是．

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23. (2024九上·嘉兴期末) 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直径 $\text{[math]}$ 上方的半圆上运动，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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24. (2024·内江模拟) 如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为．

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25. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，菱形的面积为30；折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD相交于点E，F，当点M的位置变化时，DF的长的最大值为.

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26. (2023九上·杭州期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则 $\text{[math]}$ 的面积是， $\text{[math]}$ 面积的最大值为.

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27. (2023·苍溪模拟) 如图，线段 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，点C在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边在 $\text{[math]}$ 的上方作Rt $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长的最大值为．

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28. (2022八下·长沙竞赛) 如图，P为Rt△ABC内一点，其中∠BAC=90°，并且PA=3，PB=7，PC=9，则BC的最大值为.

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29. (2022·陕西模拟) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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30. (2024九下·定海开学考) 如图所示， $\text{[math]}$ ，半径为2的圆O内切于 $\text{[math]}$ .P为圆O上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别垂直于 $\text{[math]}$ 的两边，垂足为M、N，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 .

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31. (2024九上·黔东南期末) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是平面内一动点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 运动过程中线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围是．

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32. (2023九上·滨江月考) 如图，AB是半径为4的⊙O的弦，且AB＝6，将 $\text{[math]}$ 沿着弦AB折叠，点C是折叠后的 $\text{[math]}$ 上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D ，点E是CD的中点，连接EO ，则EO的最小值为．

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33. (2023九上·期末) 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP长的最小值为

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34. (2023·南京模拟) 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 $\text{[math]}$ ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= .

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35. (2023·息烽模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形 $\text{[math]}$ 的两边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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36. (2023·泰州模拟) $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作 $\text{[math]}$ ，连接ED交 $\text{[math]}$ 于F，连接FM，MN，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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三、综合题

37. (2021八下·江岸期中) 对于任意正实数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，只有 $\text{[math]}$ 时，等号成立.结论：在 $\text{[math]}$ (，均为正实数）中，若为定值，则 $\text{[math]}$ ，只有当 $\text{[math]}$ 时，a+b有最小值 $\text{[math]}$ .根据上述内容，回答下列问题：
1. （1）初步探究：若 $\text{[math]}$ ，只有当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 最小值；
2. （2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证 $\text{[math]}$ ，并指出等号成立时的条件；
3. （3）拓展延伸：如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标.
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38. (2022·平谷模拟) 对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作 $\text{[math]}$ ．已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接AB．
1. （1） d（点O，AB）＝；
2. （2） ⊙O半径为r，若 $\text{[math]}$ ，直接写出r的取值范围；
3. （3） ⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到点 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ，求出此时r的值；
  ②对于取定的r值，若存在两个α使 $\text{[math]}$ ，直接写出r的范围．
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39. (2021·房山模拟) 对于平面内的点P和图形M ，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若 $\text{[math]}$ 与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度 $\text{[math]}$ ”．
1. （1）如图1.点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①在点O视角下，则线段 $\text{[math]}$ 的“宽度 $\text{[math]}$ ”为；
  
  ②若 $\text{[math]}$ 半径为1.5，在点A视角下， $\text{[math]}$ 的“宽度 $\text{[math]}$ ”为；
2. （2）如图2， $\text{[math]}$ 半径为2，点P为直线 $\text{[math]}$ 上一点．求点P视角下 $\text{[math]}$ “宽度 $\text{[math]}$ ”的取值范围；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于点D ， E ．
  若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段 $\text{[math]}$ 的“宽度”均满足 $\text{[math]}$ ，直接写出m的取值范围．
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40. (2021·武进模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外两点， $\text{[math]}$ .给出如下定义：平移线段 $\text{[math]}$ ，使平移后的线段 $\text{[math]}$ 成为 $\text{[math]}$ 的弦（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点），线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值称为线段 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的“优距离”.
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 中的弦 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是由线段 $\text{[math]}$ 平移而得，这两条弦的位置关系是；在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，连接点 $\text{[math]}$ 与点的线段的长度等于线段 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的“优距离”；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长度是线段 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的“优距离”，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为；
3. （3）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上两个动点，记线段 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的“优距离”为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是；请你在图2中画出 $\text{[math]}$ 取得最小值时的示意图，并标记相应的字母.
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