在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
①当∠A=40°时，∠CBD=度；
②当∠A=x°时，∠CBD=度(用含x的代数式表示)．
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
如图1，在平面直角坐标系中， ，
，
.
作出关于
轴的对称图形
， 并标注出点
，
，
；
如图1，点是
轴上一动点，并且满足
的值最小，请在图中找出点
的位置（保留作图痕迹），并直接写出
的最小值为.
如图2，某地有一块三角形空地 ， 已知
，
是
内一点，连接
后测得
米，现当地政府欲在三角形空地
中修一个三角形花坛
， 点
，
分别是
，
边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问
的周长最少约多少米?（保留整数）（
，
）
继续探究，如图②，、
分别平分
、
，
、
交于点
， 求
与
、
之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入
、
的值求
的值，得到下面几组对应值：
表中，猜想得到
与
、
的数量关系为；
| |||
| |||
|
直接填空：．
；
．
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
箭尺读数y（厘米） | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 |
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午 ， 那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
如图所示，小明分别画出了函数y=(x-2)+1，y=-(x-2)+1，y=2(x-2)+1的图象(网格中每个小方格边长为1)．通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现y=k(x-2)+1(k为常数，且k≠0) 的图象一定会经过的点的坐标是 ；
归纳：函数y=k(x-m)+n (其中k、m、n为常数，且k≠0)的图象上定会经过的点的坐标是 ；(用含m，n的字母表示)
已知一次函数y=k(x+2)+3(k为常数，且k≠0)的图象一定会经过点N，且与y轴相交于点M，点O为坐标原点，若AOMN的面积为4，求k的值．
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | |
y | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | … |
①请在图中画出函数的图象；
②把函数与函数y的图像合称为图象
， 若点
与点
均在图象
上，则a的值为 ▲ ．
①点与点
②点
与点
③点
与点
④点
与点
①求证：；
②若平分
， 试探究
与
之间的数量关系，并说明理由。
素材 | 如图①所示，
| |||||||||||||||||
素材 |
|
| ||||||||||||||||
1月10日高铁G235时刻表
| ||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为
， 并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长交
于点
，
，
又 ， ▲ ，
②如图5，延长交校内道路
于点
， 过
作
于点
，
是
上
右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市
的位置应位于 ▲ （从以下四个选项中选择）．
A．左侧B．线段
上C．线段
上（不含点
）D．
右侧
③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程．
若 ， 则
；
①当光线OB经过平面镜PA与PC反射n次后，沿POQ平行的方向射出，根据反射的次数，填写下表中角的度数：
经平面镜反射的总次数n | 1次 | 2次 | 3次 |
②当光线OB经过平面镜PA与PC反射n次后，沿POQ平行的方向射出，则与n的数量关系为；
（1）已知当x＝﹣4时，|x+4|＝0；当x＝2时，|x﹣2|＝0，化简：
①当x＜﹣4时，y＝ ；
②当﹣4≤x≤2时，y＝ ；
③当x＞2时，y＝ ．
（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，根据图象写出该函数的一条性质： ．
（3）根据上面的探究解决下面问题：
已知P（a，0）是x轴上一动点，A（﹣4，6），B（2，6），则AP+BP的最小值是 ．
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，
为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
①当时，请直接写出
中最长边的长度；
②若为整数，当
取得最大值时，请用秦九韶公式求出
的面积.
素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物.
若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 12+6=18cm. 将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是____ cm； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线____（用“一”或“二”填空）.
素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10cm的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的.
圆柱高度 | 沿路线一路程x | 沿路线二路程y | 比较x与y的大小 |
5 | 11 | x>y | |
4 | 10 | x>y | |
3 | a | 3 | b |
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，八年级某综合实践小组设计两组实验
实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1(%)与时间t(小时)的关系，数据记录如表1.
表1：电池充电状态 | ||||
时间t(小时) | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
电量y1(%) | 25 | 50 | 75 | 100 |
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2.
表 2： 汽车行驶过程 | ||||
已行驶里程s(千米) | 0 | 80 | 100 | 140 |
电量y2 (%) | 100 | 60 | 50 | 30 |
任务二：结合表1、表2的数据，实验小组发现y1关于t为正比例函数模型，y2关于s为一次函数模型，请求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式；
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间?
为家人选择合适的手机资费套餐活动报告 一、收集信息收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究．根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐． 甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计； 乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计． 二、建立模型
1．发现每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：𝑦甲= 2．为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．图中A点表示的实际意义是． 3．解决问题根据图象可知：如果从节省费用的角度考虑，当通话时间时，选择甲套餐更合适；当通话时间时，选择乙套餐更合适． |
为家人选择合适的手机资费套餐活动报告 一、收集信息 收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究．根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐． 甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计； 乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计． 二、建立模型 ⑴．发现每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：
⑵．为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．图中A点表示的实际意义是 ▲ ．
⑶．解决问题 根据图象可知：如果从节省费用的角度考虑， 当通话时间 ▲ 时，选择甲套餐更合适； 当通话时间 ▲ 时，选择乙套餐更合适． |
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．
【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④．
【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直．小组同学选取
的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面
与地面距离为
， 但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为
？
【驱动任务三】
根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为
，
长的木棒恰好能截成
和
， 则成品桌子的高度
为多少？
【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 ， 对两点
和
， 用以下方式定义两点间折线距离：
．
①已知点 ， 则
．
②函数的图象如图1所示，
是图象上一点，
， 则点
的坐标是．
某数学小组研究以下问题：是函数
的图象上的一点，当
的值最小，求
点坐标．
小明同学从函数图象入手展开研究：
①绘制函数图象：
列表：
… | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | |
… | 5 | 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | … |
表格中：；
描点、连线：在平面直角坐标系（图2）中画出该函数图象；
②请写出一条函数的性质：．
背景 | 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． | |
素材1 | 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． |
|
素材2 | 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． | |
问题解决 | ||
任务1 | 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ | |
任务2 | 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ | |
任务3 | 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 | |
