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2022年浙教版数学九上复习阶梯训练：第1章二次函数（优...

更新时间：2022-05-12 浏览次数：34 类型：复习试卷

一、综合题

1. (2021九上·宁波期中) 已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.
1. （1） ①如图2，求出抛物线y＝x²的“完美三角形”斜边AB的长；
  ②抛物线y＝x²+1与y＝x²的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ▲ ；
2. （2）若抛物线y＝ax²+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
3. （3）若抛物线y＝mx²+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx²+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值.
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2. (2021九上·西湖期中) 已知抛物线y＝mx²+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常数）.
1. （1）求证：无论m取何值，该抛物线都与x轴有两个不同的交点.
2. （2）当m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式.
3. （3）若抛物线顶点在第四象限，当x⩽0时，至少存在一个x的值，使y＜0，求m的取值范围.
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3. (2021九上·上城期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（6，8），O为坐标原点，连结OA，二次函数y＝x²图象从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线y＝ax²+bx+c与直线x＝6交于点P，顶点为M.
1. （1）若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式ax²+bx+c≥ $\text{[math]}$ x的解集.
2. （2）二次函数图象平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由.
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4. (2021九上·长沙期中) 若y是x的函数，h为常数（ $\text{[math]}$ ），若对于该函数图象上的任意两点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中a、b为常数， $\text{[math]}$ ）时，总有 $\text{[math]}$ ，就称此函数在 $\text{[math]}$ 时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在 $\text{[math]}$ 时的界高．
1. （1）函数：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时为有界函数的是：（填序号）；
2. （2）若一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 时为有界函数，且在此范围内的界高为 $\text{[math]}$ ，请求出此一次函数解析式；
3. （3）已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），当 $\text{[math]}$ 时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．
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5. (2021九上·合肥月考) 合肥市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 $\text{[math]}$ （元/千克）与时间第 $\text{[math]}$ （天）之间的函数关系为：
$\text{[math]}$ ，日销售量 $\text{[math]}$ （千克）与时间第 $\text{[math]}$ （天）之间的函数关系如图所示：
1. （1）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
2. （2）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
3. （3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠 $\text{[math]}$ 元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $\text{[math]}$ 的增大而增大，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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6. (2023·阳西模拟) 如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），
1. （1）求抛物线和直线BC的函数表达式；
2. （2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；
3. （3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；
4. （4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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7. (2021九上·连山月考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上的一动点．
1. （1）求二次函数的解析式；
2. （2）如图1，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的上方，作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 坐标；
3. （3）设抛物线的对称轴与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，当以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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8. (2021九上·余杭月考) 二次函数y＝a(x－p)(x－q)的图象与x轴交于A ， B两点，与y轴交于C点，且A(1，0)， C(0，m)(m≥0)．
1. （1）用只含a ， m的代数式表示点B的坐标．
2. （2）当AB＝ $\text{[math]}$ 时，写出二次函数的对称轴．
3. （3）若点P(n ， y₁)，Q(4，y₂)均在二次函数y＝a(x－p)(x－q)图象上，且当－2＜n＜4时，有y₁＜y₂ ，求实数的取值范围．
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9. (2021九上·绍兴开学考) 如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C ，点P是抛物线上一动点，连接PB ， PC ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D ，交直线BC于点E ．若PE＝2ED ，求△PBC的面积；
3. （3）抛物线上存在一点P ，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
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10. (2021九上·柯桥月考) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．
1. （1）求B、C两点坐标；
2. （2）求该二次函数的关系式；
3. （3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
4. （4）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．
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11. (2022九上·长顺期末) 若抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于同一点，且抛物线的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的“伙伴函数”表达式；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 互为“伙伴函数”，求m与c的值；
3. （3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，它的一个“伙伴函数”表达式为 $\text{[math]}$ ，求该抛物线表达式，并确定在 $\text{[math]}$ 范围内该函数的最大值.
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12. (2021九上·长沙月考) 定义；若关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若函数G₁的图象与函数G₂的图象相交于A、B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G₁与函数G₂互为“倍根函数”，A、B两点间的水平距离为“倍宽”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是“倍根方程”，求k的值；
2. （2）函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“倍根函数”且“倍宽”为2，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）直线l：y＝tx+d与抛物线L：y＝2x²+px+q（q≠d）互为“倍根函数”，若直线l与抛物线L相交于A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）两点，且2+2t²≤AB²≤3+3t² ，令6x₀＝|p﹣t|，若二次函数y₀＝﹣（x₀﹣m）²+m²+1有最大值4，求实数m的值.
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13. (2021九上·汉滨期中) 如图，已知抛物线y＝﹣x²＋bx＋c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N.其顶点为D.
1. （1）抛物线及直线AC的函数关系式；
2. （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 $\text{[math]}$ APC的面积的最大值.
3. （3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标.若不存在，请说明理由.
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14. (2021九上·武汉月考) 如图1，已知抛物线y＝ax²经过点（﹣2，1）.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若直线y＝ $\text{[math]}$ x+2交抛物线于点C、D，点P是直线CD下方的抛物线上一动点，若S_△PCD最大，求此时点P的坐标，并求出S_△PCD的最大值；
3. （3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.
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15. (2021九上·汉阳月考) 如图1，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²与直线y＝ $\text{[math]}$ x+1交于A、B两点（A在B的左侧）
1. （1）求A、B两点的坐标.
2. （2）在直线AB的上方的抛物线上有一点D， $\text{[math]}$ ，求点D的坐标.
3. （3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.
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16. (2021九上·南昌期中) 如图，点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图像上．已知 $\text{[math]}$ 的横坐标分别为－2、4，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ 的图像上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积的一半，则这样的点 $\text{[math]}$ 共有个．
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17. (2021九上·沙坪坝月考) 如图，在平面角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C.
1. （1）求A点、C点的坐标；
2. （2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，请求出此时点P的坐标；
3. （3）将抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，新抛物线 $\text{[math]}$ 与原抛物线对称轴交于点D.点E为新抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，直接写出所有使得以点D，E，F，B为顶点构成的四边形是平行四边形的点E的横坐标，并把求其中一个点E的横坐标的过程写出来.
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18. (2021九上·萧山月考) 已知函数y＝﹣x²+（m﹣1）x+m（m为常数），其顶点为M.
1. （1）请判断该函数的图象与x轴公共点的个数，并说明理由；
2. （2）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点M纵坐标的取值范围；
3. （3）在同一坐标系内两点A（﹣1，﹣1）、B（1，0），△ABM的面积为S，当m为何值时，S的面积最小？并求出这个最小值.
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19. (2021九上·五莲月考) 已知：二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
3. （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．
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20. (2021九上·包头月考) 在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
1. （1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代数式表示）；
2. （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
3. （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm²？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
4. （4）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
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21. (2021九上·云阳月考) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD.
1. （1）求抛物线解析式；
2. （2） P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标.
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22. (2021九上·余杭月考) 已知二次函数y＝x²﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数.
1. （1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式.
2. （2）当x≤2时，y随x的增大而减小，求m的最小值.
3. （3）当﹣1≤x≤2时，若二次函数图象始终在直线y＝3的上方，请直接写出m的取值范围.
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23. (2021九上·富县月考) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ .
1. （1）直接写出抛物线的解析式；
2. （2）把线段 $\text{[math]}$ 沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 落在抛物线上时，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）除（2）中的平行四边形 $\text{[math]}$ 外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.
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24. (2021九上·长沙月考) 若函数图象关于y轴对称，则我们称这样的函数为“YY函数”，例如： $\text{[math]}$ 是“YY函数”.
1. （1）在下面的函数中，是“YY函数”的是.
  ① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ； ③ $\text{[math]}$ .
2. （2）关于x的“YY函数”，当x>0的时，图象是经过A（1，2），B（3，5）的直线，当 x＜0 时，求“YY函数”的解析式.
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 与关于x的“YY函数” $\text{[math]}$ 的图象有3个交点，求a的值.
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25. (2021九上·江汉月考) 如图，抛物线y＝－x²＋（m－1）x＋m与y轴交于点（0，3）
1. （1）当x满足时，y的值随x值的增大而减小；
2. （2）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是；
3. （3）点P为抛物线上一点，且S_△APC＝ $\text{[math]}$ ，求点P的坐标.
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