2023年中考数学一轮复习-全等三角形八大模型汇总（通用）

更新时间：2023-01-28 浏览次数：157 类型：一轮复习

一、对称模型

1. (2023八上·平桂期末) 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，AB＝DE，BF＝EC，求证：∠A＝∠D.

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2. (2023八上·凉州期中) 已知：如图，点D在线段AC上，点B在线段AE上，AE=AC，BE=DC，求证：∠E=∠C．

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3. (2022八上·老河口期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点O，AO的延长线交 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

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4. (2022八上·大丰期中) 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边AC、AB上，且 $\text{[math]}$ ， BD与CE相交于点O.求证： $\text{[math]}$ .

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5. (2024八上·嘉兴期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
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二、平移模型

6. (2022八上·临清期中) 如图，点B，E，C，F在同一直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有什么数量关系？请说明理由．

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7. (2022八上·北京市期中) 如图，点A，F，C，D在同一直线上， $\text{[math]}$ ，请你再添加一个条件，使得 $\text{[math]}$ ，并证明．

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8. (2022八上·余杭期中) 已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B=4D，BF=DE，求证：AF=CE．

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9. (2022八上·杭州期中) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．
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三、角平分线模型

10. (2023八上·泸州期中) 如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.

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11. (2022八上·易县期中) 如图， $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数

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12. (2023八上·封开期中) 如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

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13. (2022八上·南昌期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点E以 $\text{[math]}$ 的速度从A点向F点运动，动点G以 $\text{[math]}$ 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当t取何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等．
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14. (2022八上·交城期中) 综合与实践：
问题情境：已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，P是射线 $\text{[math]}$ 上的一点，点C，D分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）初步探究：如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
2. （2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
3. （3）拓展应用：如图3，如果点C在射线 $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，点D落在了射线 $\text{[math]}$ 的反向延长线上，若点P到 $\text{[math]}$ 的距离为3， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长（直接写出答案）．
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四、手拉手模型

15. (2022九上·武清期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中以 $\text{[math]}$ 为边分别作正方形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．

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16. (2022九上·蓬安期中) 在 $\text{[math]}$ 中，以AB为边作等边 $\text{[math]}$ ，以AC为边作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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17. (2022八上·老河口期中) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，F为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，过点F作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
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18. (2022八上·平城竞赛) 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1当 $\text{[math]}$ 时．求证：
  $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；
  $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数为；
3. （3）如图3，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ．
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19. (2022八上·余杭期中) 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．
1. （1）求证：△BOC≌△ADC；
2. （2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
3. （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
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五、倍长中线模型

20. (2022八上·惠东期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是中线， $\text{[math]}$ 于点E，于点E， $\text{[math]}$ 于点F，交AD的延长线于点F，求证： $\text{[math]}$ ．

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21. (2022八上·大兴期中) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线．
求证： $\text{[math]}$ ．

请将下面的推理过程补充完整：

证明：如图 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，

∴ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （）．

∴ ▲ （全等三角形的对应边相等）．

∴在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （），

∴ $\text{[math]}$ ．

即 $\text{[math]}$ ．

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22. (2022八上·萧山期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高线， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的中线， $\text{[math]}$ 于 G， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积．
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23. (2022八上·海曙期中)
1. （1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
  小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．
  
  解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
2. （2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
3. （3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
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六、一线三等角模型

24. (2022八上·曹县期中) 如图，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点A， $\text{[math]}$ 于点B， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）说明 $\text{[math]}$ 的理由；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的度数．
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25. (2022八上·北仑期中) 如图， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
2. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ 试猜测 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
  $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 的面积为5，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
3. （3）如图3，
  ①已知点 $\text{[math]}$ 是网格中的格点，若三角形 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形，那么这样的 $\text{[math]}$ 点共有 ▲ 个；
  ②在网格中找出一个点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别相等，请在网格中标注点 $\text{[math]}$ 保留作图痕迹 $\text{[math]}$
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26. (2022八上·余姚期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点E．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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27. (2023八上·娄底月考) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
1. （1）求证：△ADC≌△CEB．
2. （2） AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
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28. (2022八上·威远期中) 如图：
1. （1）模型的发现：
  如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点在直线 $\text{[math]}$ 的同侧， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系．
2. （2）模型的迁移1：位置的改变
  如图2，在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在直线 $\text{[math]}$ 的异侧，请说明 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，并证明．
3. （3）模型的迁移2：角度的改变
  如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，并证明．
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七、截长补短模型

29. (2022八上·永春期中)
1. （1）如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
  小芮同学探究此问题的方法是：延长 $\text{[math]}$ 到点G，使 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论应是；
2. （2）如图2，若在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
3. （3）已知在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点E在 $\text{[math]}$ 的延长线上，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，如图3所示，仍然满足 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．
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30. (2022八上·路南期中) 问题背景：
1. （1）如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，嘉琪同学探究此问题的方法是：延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论应是．
2. （2）探索延伸：①如图2，若在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
  ②如图2，若五边形 $\text{[math]}$ 的面积为30， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 点到 $\text{[math]}$ 的距离．
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31. (2022八上·如皋月考)
1. （1）【问题引领】
  问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∠BCD＝120°．E，F分别是AB，AD上的点．且∠ECF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
  小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接CG，先证明 $\text{[math]}$ CBE≌ $\text{[math]}$ CDG，再证明 $\text{[math]}$ CEF≌ $\text{[math]}$ CGF．他得出的正确结论是．
2. （2）
  【探究思考】
  问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ECF＝ $\text{[math]}$ ∠BCD，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．
3. （3）【拓展延伸】
  问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由．
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32. (2022八上·丰满期末) 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边于M，N两点，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至E，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请在横线上写出角的度数，补充 $\text{[math]}$ 的证明过程．
  证明：∵ $\text{[math]}$ 是等边三角形，∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  ∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  ∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  ∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  即 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
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八、半角模型

33. (2022八上·临县期末) 如图
1. （1）如图①，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．请直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：；
2. （2）如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
3. （3）在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线上的点，且 $\text{[math]}$ ．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
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34. (2022八下·舟山期末) 已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
1. （1）如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
  ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
  
  ∠E'AF＝度，……
  
  根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
  
  ∴EF＝BE+DF．
2. （2）类比探究：
  如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
3. （3）拓展应用：
  如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S_△_ABC＝14，S_△_ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
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35. (2022八上·东阿期中) 如如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边，向外作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ” $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图②，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为腰，向内作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且小于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
3. （3）如图③，以 $\text{[math]}$ 为腰向内作等腰 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰向外作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为3， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长及点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离．
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36. (2022八下·定海期末) 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 上运动．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，
  $\text{[math]}$ 如图1，已知 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 如图2，已知 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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