【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：抽象函...

更新时间：2023-09-13 浏览次数：13 类型：二轮复习

一、选择题

1. 已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则（）

A . f(0)=0 B . f(1)=0 C . f(x)是偶函数 D . x=0为f(x)的极小值点

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2. (2022·新高考Ⅱ卷) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为R，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . -2 C . 0 D . 1

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3. (2022·全国乙卷) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为R，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的图像关于直线 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -21 B . -22 C . -23 D . -24

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4. (2022高一上·龙岗期中) 函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）

A . [﹣2，2] B . [﹣1，1] C . [0，4] D . [1，3]

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5. (2023·安徽模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，定义 $\text{[math]}$ 两点间的折线距离 $\text{[math]}$ ，该距离也称曼哈顿距离．已知点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值与最大值之和为（）

A . 0 B . -2 C . -4 D . -6

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6. (2023·安徽模拟) 定义区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ .如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），那么称这个函数为“ $\text{[math]}$ 函数”，则（）

A . $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 函数” B . $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 函数” C . $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 函数”，且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 函数”，且 $\text{[math]}$

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7. (2023·广东模拟) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，对于给定集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 封闭”函数.则下列命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 封闭”函数 B . 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 都是“ $\text{[math]}$ 封闭”函数 C . 若 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 封闭”函数，则 $\text{[math]}$ 一定是“ $\text{[math]}$ 封闭”函数 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 封闭”函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 不一定是“ $\text{[math]}$ 封闭”函数

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8. (2023·内蒙古模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是周期为 $\text{[math]}$ 的函数 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的值域是 $\text{[math]}$ D . 方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内恰有 $\text{[math]}$ 个实数解

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9. (2023·梅州模拟) 对于定义在区间 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，若满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为区间 $\text{[math]}$ 上的“非减函数”，若 $\text{[math]}$ 为区间 $\text{[math]}$ 上的“非减函数”，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，下列命题中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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10. (2019·深圳模拟) 已知偶函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则使得 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2018·广安模拟) 若对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . 0 B . 4 C . 6 D . 9

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12. (2017·山西模拟) 已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+4）=﹣f（x），且函数y=f（x+2）是偶函数，当x∈（0，2]时， $\text{[math]}$ ，当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为3，则a的值等于（）

A . e² B . e C . 2 D . 1

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13. 设函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的单调函数，且对于任意正数 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，若一个各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则数列 $\text{[math]}$ 中第18项 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 9 C . 18 D . 36

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14. (2017·武邑模拟) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=（　　）

A . 1 B . ﹣1 C . 0 D . 2

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二、填空题

15. (2017·新课标Ⅱ卷文) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x³+x² ，则f（2）=．

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16. (2023·湛江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的2次迭代函数， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的3次迭代函数，…，依次类推， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的n次迭代函数，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 除以17的余数是．

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17. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称.若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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18. (2020·南京模拟) 函数 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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19. (2020·南京模拟) 已知周期为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的整数解的个数为．

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20. (2020·银川模拟) 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：
$\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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21. (2019·长宁模拟) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 个不同的实数，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的解集 $\text{[math]}$ 是有限集，则集合 $\text{[math]}$ 中最多有个元素

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22. (2017·浦东模拟) 已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）= $\text{[math]}$ ，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=．

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23. (2017·齐河模拟) 若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x²﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．

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24. (2017·武汉模拟) 已知定义在[0，1]上的函数满足：①f（0）=f（1）=0，②对于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）﹣f（y）|＜ $\text{[math]}$ |x﹣y|．若当所有的x，y∈[0，1]时，|f（x）﹣f（y）|＜k，则k的最小值为．

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25. (2017·湖南模拟) 若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+3）≥f（x）+3和f（x+2）≤f（x）+2，且f（1）=1，则f（2 017）的值为．

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三、解答题

26. (2023·奉贤模拟) 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域是R，它的导数是 $\text{[math]}$ ．若存在常数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，那么称函数 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：函数 $\text{[math]}$ 不具有性质 $\text{[math]}$ ；
2. （2）判别函数 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ．若具有求出 $\text{[math]}$ 的取值集合；若不具有请说明理由．
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27. (2017·黄浦模拟) 已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
1. （1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 属于集合M，求实数a的取值范围；
3. （3）若f（x）=2^x+bx² ，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．
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28. (2016高三上·荆州模拟) 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，有f（x）＞0．
①求证：f（ $\text{[math]}$ ）=f（m）﹣f（n）；
②求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③比较f（ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 的大小．

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29. (2023高一上·保山期末) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ .
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30. (2022高一上·张家口期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且对一切 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 是定义域上的减函数；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ .
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31. (2021高二下·梅河口期末) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的解析式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有实数解．
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32. (2020高一上·合肥期末) 对于函数 $\text{[math]}$ ，若在定义域内存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称“局部中心函数”.
1. （1）已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），试判断 $\text{[math]}$ 是否为“局部中心函数”，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 上的“局部中心函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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33. (2017高一下·磁县期末) 设函数y=f（x）在[﹣3，3]上是奇函数，且对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2：
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）求不等式f（x﹣1）＞4的解集．

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34. (2017高二下·寿光期末) 定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．
1. （1）求f（0）的值；
2. （2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；
3. （3）解关于t的不等式f（2t²﹣t）＜1．
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35. (2017高二下·长春期末) 设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1且f（a）＞f（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．

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36. (2020高三上·静安期末) 现定义：设 $\text{[math]}$ 是非零实常数，若对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为“关于的 $\text{[math]}$ 偶型函数”
1. （1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
2. （2）设定义域为的“关于的 $\text{[math]}$ 偶型函数”在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，求证在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减
3. （3）设定义域为 $\text{[math]}$ 的“关于 $\text{[math]}$ 的偶型函数” $\text{[math]}$ 是奇函数，若 $\text{[math]}$ ，请猜测 $\text{[math]}$ 的值，并用数学归纳法证明你的结论
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