【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函...

更新时间：2023-08-17 浏览次数：19 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2023·新高考Ⅰ卷) 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中常数 $\text{[math]}$ 是听觉下限间值， $\text{[math]}$ 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离/m	声压级/dB
燃油汽车	10	60~90
混合动力汽车	10	50～60
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $\text{[math]}$ 处测得实际声压分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高一上·天津市月考) 化简 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 6

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3. (2022高一上·长春期中) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 25 B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高三上·白山) 生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 $\text{[math]}$ ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 $\text{[math]}$ 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 $\text{[math]}$ 来描述该物种累计繁殖数量 $\text{[math]}$ 与入侵时间 $\text{[math]}$ （单位：天）之间的对应关系，且 $\text{[math]}$ ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（）

A . 6.9天 B . 11.0天 C . 13.8天 D . 22.0天

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6. (2023·嵊州模拟) 基本再生数 $\text{[math]}$ 与世代间隔 $\text{[math]}$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）描述累计感染病例数 $\text{[math]}$ 随时间 $\text{[math]}$ （单位：天）的变化规律，指数增长率 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似满足 $\text{[math]}$ .有学者基于已有数据估计出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 $\text{[math]}$ 倍需要的时间约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ 天 B . $\text{[math]}$ 天 C . $\text{[math]}$ 天 D . $\text{[math]}$ 天

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7. (2023·攀枝花模拟) “绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 12 B . 13 C . 14 D . 15

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8. (2023·安徽模拟) 昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足 $\text{[math]}$ ，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为 $\text{[math]}$ ，则b＝（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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9. (2023·安徽模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2023 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2023

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10. (2023·柳州模拟) 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则N所在的区间为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·鞍山模拟) 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 $\text{[math]}$ (n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $\text{[math]}$ ，不是质数．现设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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12. (2023·邵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 若存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. (2023·张家界模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等差数列，其公差为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也是等差数列，则其公差为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2023·成都模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2023·上海市模拟) 在财务审计中，我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中，首位非零的数字是 $\text{[math]}$ 这九个事件不是等可能的. 具体来说，随机变量 $\text{[math]}$ 是一组没有人为编造的首位非零数字，
则 $\text{[math]}$ . 则根据本 • 福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).

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17. (2023·嵊州模拟) 某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列 $\text{[math]}$ ：第三行得到数列 $\text{[math]}$ ，则第5行从左数起第8个数的值为； $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 行所有项的乘积，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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18. (2023·宜宾模拟) 音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 称为全音， $\text{[math]}$ 称为半音，则 $\text{[math]}$ ．

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19. (2023·抚顺模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这6个数中，值最小的是．

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20. (2023高三下·温州月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系是， $\text{[math]}$ .

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21. (2023·周至模拟) 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过 $\text{[math]}$ 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.（参考数据： $\text{[math]}$ ）

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22. (2023·浙江模拟) 若实数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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23. (2022·东阳模拟) 在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.已知 $\text{[math]}$ ，则实数x，y的大小关系为， $\text{[math]}$ .

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24. (2022·诸暨模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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25. (2022·浙江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

26. (2022高三上·白山) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数b的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ．
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27. (2023高三下·杭州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式及 $\text{[math]}$ ；
2. （2）集合A为正整数集的某一子集，对于正整数 $\text{[math]}$ ，若存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，否则 $\text{[math]}$ ．记数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前20项和 $\text{[math]}$ ．
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28. (2023高二下·安徽期中) 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调区间；
2. （2）若在y轴右侧，函数 $\text{[math]}$ 图象恒不在函数 $\text{[math]}$ 的图象下方，求实数a的取值范围；
3. （3）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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29. (2023·金华模拟) 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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30. (2023·虹口模拟) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求正整数 $\text{[math]}$ 的值.
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31. (2023·吉林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，求a的取值范围．
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ， n， $\text{[math]}$
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32. (2023·临汾模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明 $\text{[math]}$ 是等比数列，并求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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33. (2023·蚌埠模拟) 正项数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，求 $\text{[math]}$ ．
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34. (2022·天津市模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）试判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调性并证明你的结论；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 对于 $\text{[math]}$ 恒成立，求正整数 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）求证： $\text{[math]}$ ．
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35. (2022·武功模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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